Mon Apr 13 08:46:38 CEST 2026

Automatisation/TD1.md

@@ -25,14 +25,14 @@ $H_1$
 ```mermaid
 flowchart LR
 
-A(["E(p)"]) --> B(["+/-"]) --> C("K1(p)") --> D("K2(p)") --> S("S(p)")
-D --> E("K3(p)") --> B
+A(["$$E(p)$$"]) --> B(["+/-"]) --> C("$$K_1(p)$$") --> D("$$K_2(p)$$") --> S("$$S(p)$$")
+D --> E("$$K_3(p)$$") --> B
 ```
 ```mermaid
 flowchart LR
 
-A(["E(p)"]) --> B(["+/-"]) --> D("K1(p)K2(p)") --> S("S(p)")
-D --> E("K3(p)") --> B
+A(["$$E(p)$$"]) --> B(["+/-"]) --> D("$$K_1(p)K_2(p)$$") --> S("$$S(p)$$")
+D --> E("$$K_3(p)$$") --> B
 ```
 ```mermaid
 flowchart LR
@@ -43,9 +43,9 @@ $H_2$
 ```mermaid
 flowchart LR
 
-A(["E(p)"]) --> B(["+/-"]) --> C("K1(p)") --> B2(["+/-"]) --> D("K2(p)") --> S("S(p)")
-C --> E("K4(p)") --> B
-D --> E2("K4(p)") --> B2
+A(["$$E(p)$$"]) --> B(["+/-"]) --> C("$$K_1(p)$$") --> B2(["+/-"]) --> D("$$K_2(p)$$") --> S("$$S(p)$$")
+C --> E("$$K_4(p)$$") --> B
+D --> E2("$$K_4(p)$$") --> B2
 ```
 ```mermaid
 flowchart LR

MathématiquesGénérales/TD2.md

@@ -10,3 +10,96 @@ $A+I=\pmatrix{0&0&1\\1&1&-1\\0&0&1}$
 $A\times (A+I)=\pmatrix{0&0&1\\1&1&-1\\0&0&1}\pmatrix{-1&0&1\\1&0&-1\\0&0&0}=\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}$
 $p:x\rightarrow x(x+1)$.
 $p$ est le polynome minimal de $A$.
+
+## 3)
+Pour toute valeur propre $\lambda_i$, on associe un espace propre $E_i$ et un projecteur $P_i$.
+
+$\color{red}\boxed{\color{white}\forall n \in\mathbb{N},\, \sum_i\lambda_i^nP_i=A^n}$ 
+$\forall n\in\mathbb{N},\, O^nP_1+(-1)^nP_0=A^n$.
+Si $n=0$, $P_0+P_1=I$
+Si $n=1$, $-P_0=A$ 
+
+On a notre système a deux inconnues: $\cases{P_0+P_1=I \\ -P_0=A}\implies\cases{P_0=-A \\ P_1=I-P_0=A+I}$
+$A^n=(-1P_0+0P_1)^n=\sum_{k=0}^n\pmatrix{n\\k}(-P_0)^k(0P_1)^{n-k}$
+$A^n=(-1P_0)^n+(0P_1)^n$
+$A^n=\cases{I\text{   si } n=0 \\ (-1)^nP_0=(-1)^{n+1}A\text{   si }n>0}$ 
+
+
+## 4)
+Soit $t\in\mathbb{R}$
+$e^{tA}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(tA)^k}{k!}$ 
+$=\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{t^k}{k!}(-1)^{k+1})A+I$
+$=-A(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-t)^k}{k!}-1)+I$ 
+$=-Ae^{-t}+A+I$
+$=P_0e^{\lambda_0t}+P_1e^{\lambda_1t}$ 
+
+$P_0=-A=\pmatrix{1&0&-1\\-1&0&1\\0&0&0}$
+$P_1=A+I=\pmatrix{0&0&1\\1&1&-1\\0&0&1}$
+Vecteur propre dans $P_0$: $\pmatrix{1\\-1\\0}$
+Vecteurs propres dans $P_1$: $\pmatrix{0\\1\\0} \text{ et } \pmatrix{1\\-1\\1}$
+
+# Exercice 2:
+## 1.
+$B=\pmatrix{a&b&c\\a&b&c\\a&b&c}\,(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$.
+
+$\mathcal{X}_B(x)=\det{(xI-B)}=\begin{vmatrix}x-a&-b&-c\\-a&x-b&-c\\-a&-b&x-c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x-(a+b+c)&-b&-c\\x-(a+b+c)&x-b&-c\\x-(a+b+c)&-b&x-c\end{vmatrix}$ 
+
+$\mathcal{X}_B(x)=(x-(a+b+c))\begin{vmatrix}1&-b&-c\\1&x-b&-c\\1&-b&x-c\end{vmatrix}\matrix{\\L_2-L_1\\L_3-L_1}$
+
+$\mathcal{X}_B(x)=(x-(a+b+c))\begin{vmatrix}1&-b&-c\\0&x&0\\0&0&x\end{vmatrix}=x^2(x-(a+b+c))$ 
+
+On pose $p:x\rightarrow x(x-(a+b+c))$
+- [x] Divise $\mathcal{X}_B$
+- [x] Mêmes racines que $\mathcal{X}_B$
+- [x] Unitaire
+- [x] De + bas degré possible
+
+$p(B)=B(B-(a+b+c)I)$
+$p(B)=\pmatrix{a&b&c\\a&b&c\\a&b&c}\pmatrix{-(b+c)&b&c\\a&-(a+c)&c\\a&b&-(a+b)}=0$
+ 
+$p$ est le polynome minimal de $B$.
+$S_p(B)=\{0,a+b+c\}$.
+$p$ est scindé à racines simples si $a+b+c≠0$
+
+La matrice $B$ est donc diagonalisable $\forall(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$ tel que $a+b+c≠0$ 
+
+## 2.
+Soit $\lambda_0=0$ et $\lambda_1=a+b+c$.
+$\cases{\lambda_0;E_0;P_0\\\lambda_1;E_1;P_1}$
+$\forall n\in\mathbb{N},\,\lambda_0^nP_0+\lambda_1^nP_1=B^n$
+
+$\cases{P_0+P_1=I\\(a+b+c)P_1=B}\implies\cases{P_1=\frac{1}{a+b+c}B\\P_0=I-\frac{1}{a+b+c}B=\frac{-1}{a+b+c}(B-(a+b+c)I)}$
+
+$B^n=\cases{I \text{ si }n=0\\(a+b+c)^nP_1=(a+b+c)^{n-1}B \text{ si }n>0}$
+
+$e^{tB}=e^{0t}P_0+e^{(a+b+c)t}P_1$.
+
+Vecteurs propres de l'espace $E_0$: $\pmatrix{-(b+c)\\a\\a}$ et $\pmatrix{b\\-(a+c)\\b}$
+Vecteur propre de l'espace $E_1$: $\pmatrix{a\\a\\a}$
+
+# Exercice 3:
+
+$C=\pmatrix{3&1&0&1\\1&3&0&1\\0&0&4&0\\0&0&0&2}$
+
+$\mathcal{X}_C(x)=\begin{vmatrix}x-3&-1&0&-1\\-1&x-3&0&-1\\0&0&x-4&0\\0&0&0&x-2\end{vmatrix}=(x-2)(x-4)((x-3)^2-1)=(x-2)^2(x-4)^2$ 
+
+On pose $p: x\rightarrow(x-2)(x-4)$
+- [x] Divise $\mathcal{X}_B$
+- [x] Mêmes racines que $\mathcal{X}_B$
+- [x] Unitaire
+- [x] De + bas degré possible
+
+$p(C)=(C-2I)(C-4I)=0_4$.
+
+$p$ est le polynome minimal de $C$, il est scindé et à racines simples. Donc, $C$ est diagonalisable.
+
+$S_p(C)=\{2,4\}$.
+
+$\forall n\in\mathbb{N},\,\lambda_0^nP_0+\lambda_1^nP_1=C^n$
+$\cases{P_0+P_1=I\\2P_0+4P_1=C}\implies\cases{P_0=I-P_1\\2I-2P_1=C}$
+$P_1=\frac{C-2I}{2}$
+$P_0=I-\frac{C-2I}{2}=-\frac{1}{2}(C-4I)$.
+
+$C^n=2^nP_0+4^nP_1$
+
+$e^{tC}=e^{2t}P_0+e^{4t}P_1$ 

MathématiquesGénérales/TD3.md

@@ -0,0 +1,80 @@
+![[CI-SST81E6_TD3.pdf]]
+![[lib]]
+
+# Exercice 2:
+On pose $A=\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&0}$.
+## 1.
+$\det{(xI-A)}=\det\begin{vmatrix}x&0&0\\-1&x-1&0\\-1&0&x\end{vmatrix}$ 
+$\det{(xI-A)}=x^2(x-1)$
+
+On cherche le polynome minimal:
+On pose $P:x\rightarrow x(x-1)$
+$\mathcal{X}_A(A)=0=A^2(A-I)=A^3-A^2=0$
+Donc $A^3=A^2$.
+
+## 2.
+$P(A)=A(A-I)=\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&0}\pmatrix{-1&0&0\\1&0&0\\1&0&-1}=\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\-1&0&0}≠0$ 
+Donc $P$ n'est pas le polynome minimal de $A$.
+
+Le polynome minimal est à racine multiple, donc $A$ n'est pas diagonalisable.
+
+## 3.
+Spectre de $A$:
+$S_p(A)=\{0;1\}$.
+$\lambda_0=0;\lambda_1=1;$ 
+$\dim(E_0)=1$ 
+$\dim(E_1)=1$ 
+
+## 4.
+$A=D+N$ 
+Avec $D$ "Diagonalisable" et $N$ "Nilpotente". $DN=ND$.
+### a)
+$D=q(A)$ avec $q\in\mathbb{R}(x)$ tel que $\cases{q\equiv\lambda_i[(x-\lambda_i)^{\mu_i}]\\\mu_i=\text{ Multiplicité de }\lambda_i=2}$ 
+$\cases{q\equiv0[x^2] \\ q\equiv1[x-1]}$
+Les deux modulis sont premiers entre eux car ils n'ont pas de racines communes.
+$\exists (u,v)\in\mathbb{R}(x)$ tel que $\cases{q=0+ux^2\\q=1+v(x-1)}$
+Euclide:
+$\div{x^2}{x-1}{x+1}{-(x^2-x)\\+x\\-(x-1)\\1}$ 
+
+### b)
+$D_0=A$ 
+$D_{n+1}=D_n-P(D_n)\times(P'(D_n))^{-1}$ 
+$D=D_n$ dès que $2^n≥\max{(\mu_i)}$ 
+Avec $P\in\R(x), P=\frac{\mathcal{X}_A}{PGDC(\mathcal{X}_A,\mathcal{X}_A')}$   
+
+$\mathcal{X}_A=x^2(x-1)=x^3-x^2$
+$\mathcal{X}_A'=3x^2-2x=x(3x-2)$
+$PGDC(\mathcal{X}_A,\mathcal{X}_A')=x$ 
+
+$D=D_1=D_0-P(D_0)\times(P'(D_0))^{-1}=A-P(A)\times(P'(A))^{-1}$  Avec $P'=2x-1$
+$P'(A)=2A-I=\pmatrix{-1&0&0\\2&1&0\\2&0&-1}$ 
+$(P'(A))^{-1}=\pmatrix{-1&0&0\\2&1&0\\2&0&-1}^{-1}=\pmatrix{\frac{1}{-1}&0&0\\?&\frac{1}{1}&0\\?&?&\frac{1}{-1}}$ 
+$D=\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&0}-\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\-1&0&0}\pmatrix{\frac{1}{-1}&0&0\\?&\frac{1}{1}&0\\?&?&\frac{1}{-1}}=\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\1&0&0}$ 
+## 5.
+$D^n=D$: Initialisation avec $n=1$ car $\N^*$ 
+$D^1=D$
+Hérédité: Soit $n\in\N^*$ on suppose $D^n=D$
+Montrons que $D^{n+1}=D$
+$D^{n+1}=D^n\times D=D^2$
+$D^{n+1}=A^4$
+$D^{n+1}=A\times A^3$
+$D^{n+1}=A\times A^2$
+$D^{n+1}=A^3$
+$D^{n+1}=A^2$
+$D^{n+1}=D$
+
+Conclusion: $\forall n\in\N^*;D^n=D$ 
+$$
+A^n=(D+N)^n=\sum_{k=0}^n\pmatrix{n\\k}D^{n-k}N^k
+$$
+$$
+A^n=\cases{
+n=0\implies I \\
+n=1\implies A \\
+n≥2\implies D^n=A^2
+}
+$$
+
+$$e^{tD}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(tD)^k}{k!}=(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^k}{k!})\times D+I=(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!} -1)\times D + I=(e^t-1)D+I$$
+$$e^{tA}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}A^k=(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}-1-t)A^2+I+tA=D(e^t-1)+I+t(A-D)$$
+

MathématiquesGénérales/lib.md

@@ -0,0 +1,21 @@
+$$
+\newcommand{\div}[4]{
+\begin{array}{r|l}
+#1 & #2\\
+\hline
+\begin{array}[t]{r}#4\end{array} & \begin{array}[t]{l}#3\end{array}
+\end{array}
+}
+
+\newcommand{\matp}[3]{
+\begin{array}{cc}
+& #2 \\
+#1 & #3
+\end{array}
+}
+
+\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
+\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
+\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
+\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
+$$