![[TD_FGE_2025.pdf#page=10]]
![[b5364d1697.pdf#page=5]]
# Exercise 1.

Loi des mailles $\rightarrow E=U_R+UC$
$E=R_i+U_C$
$E=RC\frac{dU_C}{dt}+U_C$

La solution est une courbe de la forme $U_C(t)=A_e^{-t/RC}+B$ 

Conditions aux limites:
À $t=0$, $U_C(t)=0$ par lecture du circuit.
$U_C(t)=A_e^{-0/RC}+B=A+B$
$\implies 0=A+B\implies A=-B$

À $t\rightarrow ∞$, $U_C(t)=E_0$ par lecture du circuit.
$U_C(∞)=B$ par la forme de la solution.
Finalement, $U_C(t)=-E_0e^{-t/RC}+E_0=E_0(1-e^{-t/RC})$ 

$V=E-U_C(t)$
$V(t)=E_0e^{-t/RC}$

# Exercise 2.
![[Pasted image 20251003152305.png]]


$\tau=RC=10E^3\times100E^{-6}=1s$ 
![[IMG_7370.jpeg]]

# Exercise 3: Second order DC circuits
![[Pasted image 20251003160147.png]]

$\implies I=CL\frac{d^2i_1}{dt^2}+i_1$ 

Puisque $0=LC\frac{d^2U}{dt^2}+U+°\times\frac{dU}{dt}$ 
$\implies$ Solution: $U(t)=A\cos{(\omega_0t)}+B\sin{(\omega_0t)}$ 
À $t=0$, $U(t)=0$ donc $A=0$.

Donc $U(t)=B\sin{(\omega_0t)}$
d'où: $\frac{du}{dt}=B\omega_0\cos{(\omega_0t)}$
Or, $\frac{dU}{dt}=\frac{i_C}{C}$ et $i=i_C+i_L$
Donc $\frac{dU}{dt}=\frac{i-i_L}{C}$

À $t=0$:
$\frac{dU}{dt}=B\omega_0=\frac{I}{C}$
Parceque $I_L$ est continu:
$I_L(0^+)=I_L(0^-)=0$
$\implies B=\frac{I}{i\omega_0}=\frac{I}{\frac{C}{\sqrt{LC}}}=\frac{I\sqrt{LC}}{C}$ 

Finalement, $U(t)=\frac{I\sqrt{LC}}{C}\sin{(\frac{1}{\sqrt{LC}}t)}$