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# Exercice 2:
On pose $A=\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&0}$.
## 1.
$\det{(xI-A)}=\det\begin{vmatrix}x&0&0\\-1&x-1&0\\-1&0&x\end{vmatrix}$ 
$\det{(xI-A)}=x^2(x-1)$

On cherche le polynome minimal:
On pose $P:x\rightarrow x(x-1)$
$\mathcal{X}_A(A)=0=A^2(A-I)=A^3-A^2=0$
Donc $A^3=A^2$.

## 2.
$P(A)=A(A-I)=\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&0}\pmatrix{-1&0&0\\1&0&0\\1&0&-1}=\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\-1&0&0}≠0$ 
Donc $P$ n'est pas le polynome minimal de $A$.

Le polynome minimal est à racine multiple, donc $A$ n'est pas diagonalisable.

## 3.
Spectre de $A$:
$S_p(A)=\{0;1\}$.
$\lambda_0=0;\lambda_1=1;$ 
$\dim(E_0)=1$ 
$\dim(E_1)=1$ 

## 4.
$A=D+N$ 
Avec $D$ "Diagonalisable" et $N$ "Nilpotente". $DN=ND$.
### a)
$D=q(A)$ avec $q\in\mathbb{R}(x)$ tel que $\cases{q\equiv\lambda_i[(x-\lambda_i)^{\mu_i}]\\\mu_i=\text{ Multiplicité de }\lambda_i=2}$ 
$\cases{q\equiv0[x^2] \\ q\equiv1[x-1]}$
Les deux modulis sont premiers entre eux car ils n'ont pas de racines communes.
$\exists (u,v)\in\mathbb{R}(x)$ tel que $\cases{q=0+ux^2\\q=1+v(x-1)}$
Euclide:
$\div{x^2}{x-1}{x+1}{-(x^2-x)\\+x\\-(x-1)\\1}$ 

### b)
$D_0=A$ 
$D_{n+1}=D_n-P(D_n)\times(P'(D_n))^{-1}$ 
$D=D_n$ dès que $2^n≥\max{(\mu_i)}$ 
Avec $P\in\R(x), P=\frac{\mathcal{X}_A}{PGDC(\mathcal{X}_A,\mathcal{X}_A')}$   

$\mathcal{X}_A=x^2(x-1)=x^3-x^2$
$\mathcal{X}_A'=3x^2-2x=x(3x-2)$
$PGDC(\mathcal{X}_A,\mathcal{X}_A')=x$ 

$D=D_1=D_0-P(D_0)\times(P'(D_0))^{-1}=A-P(A)\times(P'(A))^{-1}$  Avec $P'=2x-1$
$P'(A)=2A-I=\pmatrix{-1&0&0\\2&1&0\\2&0&-1}$ 
$(P'(A))^{-1}=\pmatrix{-1&0&0\\2&1&0\\2&0&-1}^{-1}=\pmatrix{\frac{1}{-1}&0&0\\?&\frac{1}{1}&0\\?&?&\frac{1}{-1}}$ 
$D=\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&0}-\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\-1&0&0}\pmatrix{\frac{1}{-1}&0&0\\?&\frac{1}{1}&0\\?&?&\frac{1}{-1}}=\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\1&0&0}$ 
## 5.
$D^n=D$: Initialisation avec $n=1$ car $\N^*$ 
$D^1=D$
Hérédité: Soit $n\in\N^*$ on suppose $D^n=D$
Montrons que $D^{n+1}=D$
$D^{n+1}=D^n\times D=D^2$
$D^{n+1}=A^4$
$D^{n+1}=A\times A^3$
$D^{n+1}=A\times A^2$
$D^{n+1}=A^3$
$D^{n+1}=A^2$
$D^{n+1}=D$

Conclusion: $\forall n\in\N^*;D^n=D$ 
$$
A^n=(D+N)^n=\sum_{k=0}^n\pmatrix{n\\k}D^{n-k}N^k
$$
$$
A^n=\cases{
n=0\implies I \\
n=1\implies A \\
n≥2\implies D^n=A^2
}
$$

$$e^{tD}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(tD)^k}{k!}=(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^k}{k!})\times D+I=(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!} -1)\times D + I=(e^t-1)D+I$$
$$e^{tA}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}A^k=(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}-1-t)A^2+I+tA=D(e^t-1)+I+t(A-D)$$