_(Cinématique → Statique → Cinétique → Dynamique → Équilibre Dynamique)_

## I. CINÉMATIQUE

### Repères et variables

Deux repères :

- $R_0(O,\vec{x_0},\vec{y_0},\vec{z_0})$ fixe et galiléen

- $R_1(O,\vec{x_1},\vec{y_1},\vec{z_1})$ lié au solide

Angle $\theta$ en radians. Vitesse angulaire $\dot{\theta} = \dfrac{d\theta}{dt}$ en rad s$^{-1}$. Accélération angulaire $\ddot{\theta} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2}$ en rad s$^{-2}$.

### Changement de base dans le plan $x_0y_0$

$$  
\begin{cases}  
\vec{x_1} = \cos(\theta)\,\vec{x_0} + \sin(\theta)\,\vec{y_0} \\  
\vec{y_1} = -\sin(\theta)\,\vec{x_0} + \cos(\theta)\,\vec{y_0}  
\end{cases}  
$$

### Dérivation dans une base mobile (formule de Poisson)

Vecteur rotation  
$$  
\vec{\Omega}_{1/0} = \dot{\theta}\,\vec{z}  
$$  
Formule  
$$  
\left(\dfrac{d\vec{u}}{dt}\right)_{R_0} = \left(\dfrac{d\vec{u}}{dt}\right)_{R_1} + \vec{\Omega}_{1/0} \wedge \vec{u}  
$$  
Applications aux axes  
$$  
\begin{cases}  
\dfrac{d\vec{x_1}}{dt}\Big|_0 = \dot{\theta}\,\vec{y_1} \\  
\dfrac{d\vec{y_1}}{dt}\Big|_0 = -\dot{\theta}\,\vec{x_1}  
\end{cases}  
$$

### Vitesse d’un point

$$  
\vec{V_B} = \vec{V_A} + \vec{AB} \wedge \vec{\Omega}_{1/0}  
$$

### Accélération d’un point

$$  
\vec{\Gamma_B} = \vec{\Gamma_A} + \vec{AB} \wedge \dot{\vec{\Omega}}_{1/0} + \vec{\Omega}_{1/0} \wedge \big(\vec{\Omega}_{1/0} \wedge \vec{AB}\big)  
$$  
Cas rotation autour d’un axe à distance $R$  
$$  
\vec{\Gamma_B} = R\big(\ddot{\theta}\,\vec{y_1} - \dot{\theta}^{2}\,\vec{x_1}\big)  
$$

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## II. STATIQUE

### Torseur d’action mécanique au point $A$

$$  
\mathcal{T} =  
\begin{Bmatrix}  
\vec{F} \\  
\vec{M_A}  
\end{Bmatrix}_A  
$$

### Changement de point

$$  
\vec{M_B} = \vec{M_A} + \vec{BA} \wedge \vec{F}  
$$

### Torseurs usuels

Poids appliqué en $G$  
$$  
\mathcal{T}_P =  
\begin{Bmatrix}

- m g\,\vec{y_0} \\  
    \vec{0}_G  
    \end{Bmatrix}  
$$  
Liaison pivot au point $O$  
$$  
\mathcal{T}_{\text{pivot}} =  
\begin{Bmatrix}  
F_x\,\vec{x_1} + F_y\,\vec{y_1} \\  
\vec{0}_O  
\end{Bmatrix}  
$$


### Somme des actions extérieures au point $O$

$$  
\sum \mathcal{T}_{\text{ext}} =  
\begin{Bmatrix}  
\sum \vec{F_i} \\  
\sum \vec{M_{O,i}}  
\end{Bmatrix}_O  
$$

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## III. CINÉTIQUE

### Masse et volume

$$  
m = \rho V  
$$

### Moment d’inertie

Définition  
$$  
I = \int r^2\,dm  
$$  
Usuels  
$$  
I_{\text{disque}} = \tfrac{1}{2} m R^2
$$
$$
I_{\text{barre, axe extrémité}} = \tfrac{1}{3} m L^2  
$$

### Moment cinétique

$$  
\vec{H_G} = I\,\vec{\Omega}_{1/0} = I\,\dot{\theta}\,\vec{z}  
$$

### Torseur cinétique

Au point $G$  
$$  
\mathcal{T}_{ci(1/0)} =  
\begin{Bmatrix}  
m\,\vec{V_G} \\  
\vec{H_G}  
\end{Bmatrix}_G  
$$  
Transport au point $O$  
$$  
\vec{H_O} = \vec{H_G} + \vec{OG} \wedge \big(m\,\vec{V_G}\big)  
$$

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## IV. DYNAMIQUE

### Principe fondamental de la dynamique

Forme torseur  
$$  
\sum \mathcal{T}_{\text{ext}} = \mathcal{T}_{dy(1/0)}  
$$

### Torseur dynamique au point $G$

$$  
\mathcal{T}_{dy(1/0)} =  
\begin{Bmatrix}  
m\,\vec{\Gamma_G} \\  
I\,\ddot{\theta}\,\vec{z}  
\end{Bmatrix}_G  
$$

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## V. ÉQUILIBRE DYNAMIQUE

### Mise en équations par projections

Point de départ  
$$  
\sum \mathcal{T}_{\text{ext}} = \mathcal{T}_{dy}  
$$  
Projections typiques pour une rotation de rayon $R$  
$$  
\begin{cases}  
\sum F_{x_1} = - m R\,\dot{\theta}^{2} \\  
\sum F_{y_1} = m R\,\ddot{\theta} \\  
\sum M_{z} = I\,\ddot{\theta}  
\end{cases}  
$$

### Petits mouvements

Approximations pour petits angles  
$$  
\sin(\theta) \approx \theta \\  
\cos(\theta) \approx 1  
$$  
Équation linéarisée  
$$  
\ddot{\theta} + \omega_0^{2}\,\theta = 0  
$$  
Pulsation propre selon le système  
$$  
\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{I}} \quad \text{ou} \quad \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{L}}  
$$

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## VI. RÉCAP DES SYMBOLES

$\theta$ angle en rad  
$\dot{\theta}$ vitesse angulaire en rad s$^{-1}$  
$\ddot{\theta}$ accélération angulaire en rad s$^{-2}$  
$\vec{\Omega}_{1/0}$ vecteur rotation en rad s$^{-1}$  
$\vec{V}$ vitesse en m s$^{-1}$  
$\vec{\Gamma}$ accélération en m s$^{-2}$  
$m$ masse en kg  
$I$ moment d’inertie en kg m$^{2}$  
$\vec{F}$ force en N  
$\vec{M}$ moment en N m  
$\wedge$ produit vectoriel