![[CI-SST81E6_TD1.pdf]]


# Exercice 1:
#### 1. En utilisant l’algorithme d’Euclide étendu, montrez que $169$ et $45$ sont premiers entre eux et trouvez deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $169u+ 45v = 1$

$169=45\times3+34$
$45=34\times1+11$
$34=11\times3+1$
$11=1\times11+0$

Le $PGDC$ est égal à $1$, donc $169$ et $45$ sont premiers entre eux.

Trouvons $u$ et $v$. Formule: $\boxed{u_{k}=u_{k-2}-u_{k-1}\times q_{k}}$ et $\boxed{v_{k}=v_{k-2}-v_{k-1}\times q_{k}}$

|                    | $u_k$      | $v_k$      |
| ------------------ | ---------- | ---------- |
|                    | 1          | 0          |
|                    | 0          | 1          |
| $169=45\times3+34$ | 1          | -3         |
| $45=34\times1+11$  | -1         | 4          |
| $34=11\times3+1$   | 4          | -15        |
| $11=1\times11+0$   | ////////// | ////////// |

Bilan: $\boxed{au+bv=PGDC(a,b)}$ 
Donc, $169\times4+45\times(-15)=1$

#### 2. Retrouvez le fait que $169$ et $45$ sont premiers entre eux en utilisant les décompositions en produit de facteurs premiers de $169$ et $45$.

$169=1\times13^2$
$45=1\times3^2\times5$
Le seul diviseur commun est $1$.

#### 3. Déterminez l’ensemble des couples $(x;y)$ d’entiers relatifs vérifiant les deux conditions suivantes: $(x,y)\in\mathbb{Z}^2,\cases{169x+45y=1 \\ x\in [100,200]\Leftrightarrow x\in\mathbb{Z} \text{ et } 100≤x≤200}$
Solution particulière: $x_{p}=4$ et $y_{p}=-15$ 
$(H)=169x+45y=0$ 

Si $x=45$ et $y=-169$, ça marche.

Solution homogène: $\cases{x=45k \\ y=-169k}\forall k\in\mathbb{Z}$ 
Solution générale: $\cases{x=45k+4 \\ y=-169k-15}\forall k\in\mathbb{Z}$ 
Contrainte: $100≤45k+4≤200 \rightarrow96≤45k≤196\rightarrow\frac{96}{45}≤k≤\frac{196}{45}\rightarrow\approx2.≤k≤\approx4.$ 

Avec $k=3$: $x=45\times3+4=139$ et $y-522$
Avec $k=4$: $x=184$ et $y-691$

#### 4. Inverse de $\cases{\overline{34}=\overline{169} \text{ dans }\mathbb{Z}/45\mathbb{Z} \\ \overline{45} \text{ dans }\mathbb{Z}/169\mathbb{Z}}$ 

$a\in(\mathbb{E},+_{\mathbb{E}},\times_{\mathbb{E}})$,  $\exists a^{-1}\in\mathbb{E}$ tel que $a\times a^{-1}=1_{\mathbb{E}}$ 

On cherche $u\in\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}$ tel que $\overline{34}\times u=\overline{1}\Leftrightarrow\overline{169}\times u=\overline{1}$
On a vue que $169\times4+45\times(-15)=1$, mais dans $\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}$, $45\times(-15)=0$
Donc $\overline{169}\times\overline{4}=\overline{1}$. 
L'inverse de $\overline{34}$, c'est-à-dire l'inverse de $\overline{169}$ dans $\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}$ est $4$. $\overline{34}^{-1}=\overline{4}$

On cherche $v\in\mathbb{Z}/169\mathbb{Z}$ tel que $\overline{45}\times v=\overline{1}$.
On a vu que $169\times4+45\times(-15)=1$, mais dans $\mathbb{Z}/169\mathbb{Z}$, $169\times4=0$
Donc $\overline{45}\times(\overline{-15})=\overline{1}$. 
L'inverse de $\overline{45}$ dans $\mathbb{Z}/169\mathbb{Z}$ est $\overline{-15}$ soit $\overline{154}$.

#### 5. $\cases{\mathbb{A}=\mathbb{M}_2(\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}) \\ U=\pmatrix{\overline{9}&\overline{2} \\ \overline{1}&\overline{4}}}$ 

$\det{U}=\overline{9}\times\overline{4}-\overline{1}\times\overline{2}=\overline{34}$ 

$\boxed{\forall A\in M_n(\mathbb{R}): \exists A^{-1}\text{ si }\det{A}≠0}$ 
$\boxed{\forall A\in M_n(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}): \exists A^{-1}\text{ si }\exists\det{A}^{-1}}$ 

On a $\overline{34}^{-1}=\overline{4}$ donc $\exists U^{-1}$
$U^{-1}=\overline{4}\pmatrix{\overline{4}&\overline{-2} \\ \overline{-1}&\overline{9}}=\pmatrix{\overline{16}&\overline{-8} \\ \overline{-4}&\overline{36}}=\pmatrix{\overline{16}&\overline{37} \\ \overline{41}&\overline{36}}$ 

#### 6. Trouver $(x,y)\in(\mathbb{Z}/45\mathbb{Z})^2$ tel que $\cases{\overline{9}x+\overline{2}y=\overline{1} \\ x + \overline{4}y=\overline{2}}$
$\Leftrightarrow U\times\pmatrix{x\\y}=\pmatrix{\overline{1}\\\overline{2}}$
$\Leftrightarrow\pmatrix{x\\y}=U^{-1}\times\pmatrix{\overline{1}\\\overline{2}}=\pmatrix{\overline{0}\\\overline{68}}=\pmatrix{\overline{0}\\\overline{23}}$ 
car $\exists U^{-1}$

$x=\overline{0}$ et $y=\overline{23}$.


# Exercice 3:

#### 1. $+$ et $\times$ de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$

| $+$            | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ |
| -------------- | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- |
| $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ |
| $\overline{1}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$ |
| $\overline{2}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ |
| $\overline{3}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ |
| $\overline{4}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ |

| $\times$       | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ |
| -------------- | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- |
| $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ |
| $\overline{1}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ |
| $\overline{2}$ | $\overline{0}$ | $\overline{2}$ | $\overline{4}$ | $\overline{1}$ | $\overline{3}$ |
| $\overline{3}$ | $\overline{0}$ | $\overline{3}$ | $\overline{1}$ | $\overline{4}$ | $\overline{2}$ |
| $\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{4}$ | $\overline{3}$ | $\overline{2}$ | $\overline{1}$ |


#### 2. $x\in\cases{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}}$ tel que $x^2+\overline{1}=\overline{0}$ 

Pour $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:

| $x$                | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ |
| ------------------ | -------------- | -------------- |
| $x^2+\overline{1}$ | $\overline{1}$ | $\overline{0}$ |
$S_2=\{\overline{1}\}$ 

Pour $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$:

| $x$                | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ |
| ------------------ | -------------- | -------------- | -------------- |
| $x^2+\overline{1}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{2}$ |
$S_3=\varnothing$

Pour $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$:

| $x$                | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ |
| ------------------ | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- |
| $x^2+\overline{1}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{2}$ |
$S_5=\{\overline{2},\overline{3}\}$ 


# Exercice 2: 
On cherche $x\in[0,100]$ tel que $\cases{x\equiv1[3] \\ x\equiv2[5] \\ x\equiv-1[7]}$ 
$3$, $5$ et $7$ sont premiers et différents, donc premiers entre eux, donc d'après le théorème Chinois, il existe des solutions.

En prenant $\cases{x\equiv1[3] \\ x\equiv2[5]}$, 
$\exists k_1\in\mathbb{Z}$ tel que $x=1+3k_1$
$\exists k_2\in\mathbb{Z}$ tel que $x=2+5k_2$
$1+3k_1=2+5k_2$
$3k_1-5k_2=1$
Solution évidente: on peut prendre $k_1=2$ et $k_2=1$.
$x_p=1+2\times3=2+5=7$.
Solution générale: $x=7+15k\,\forall k\in\mathbb{Z}$.