![[TD_FGE_2025.pdf#page=7]]
# Exercise 1. Equivalent Generator
## a. ![[1.A.]]
- On éteint les générateurs: ![[1.A.Eteint]]
$R_{th}=R_{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$

- On fait un circuit ouvert après AB: ![[1.A.Ouvert]]
$U_{AB}=\frac{E\times R_1}{R_1+R_2}=E_{th}$

## b. ![[1.B.]]
- On éteint les générateurs ![[1.B.Eteint]]
$R_n=R_{eq}=R_1+R_2$

- On fait un court-circuit en AB: ![[1.B.Ouvert]]
$I_n=\frac{R_1}{R_1+R_2}I$

## c. ![[1.C.]]
- On éteint les générateurs: ![[1.C.Eteint]]
$R_{eq}=R_{th}=\frac{5r}{2}$
- On fait un circuit ouvert après AB: ![[1.C.Ouvert]]
$U_{AB}=E_{th}=$
D'après la loi des mailles:
$U_{AB}=U_{eq}-e$
Que vaut $U_{eq}$ ? ![[1.C.Ouvert.Ueq]]
Loi des mailles:
$ri-ri+e-2e=0$

Superposition:
En éteignant le générateur de $2e$, on obtient $U_1=\frac{e}{2}$
En éteignant le générateur de $e$, on obtient $U_2=2e-\frac{2e}{2}=e$ 
$U_{eq}=U_1+U_2=e+\frac{e}{2}=\frac{3e}{2}$ 

## g. ![[1.G.]]
Générateur dépendant -> Problème
Calcul de $I_n$: Courant lorsque court-circuit: 
![[1.G.CourtCircuit]]
$I_n+I_1=I$
$I_1=\frac{V}{R_1}$
$I_n=I-\frac{V}{R_1}$

$0=V+\lambda V-R_2I_n$ 
$R_2I_n=V(1+\lambda)$
$V=\frac{I_nR_2}{1+\lambda}\implies I_n=I-\frac{I_nR_2}{R_1(1+\lambda)}$
$\implies \boxed{I_n=I\times\frac{R_1(1+\lambda)}{R_2+R_1(1+\lambda)}}$

![[02a58d4198.pdf]]

# Exercise 2: Power analysis
![[Pasted image 20251003135122.png]]
![[Drawing 2025-10-03 13.51.44.excalidraw]]

# Exercise 3: Millman Theorem
![[Pasted image 20251003135519.png]]
![[Drawing 2025-10-03 13.56.01.excalidraw]]
Pour trouver $R_{th}$, on éteint les générateurs et on calcule $R_{eq}=R_{th}$.
$R_{th}=\frac{5R}{4}$.

Pour trouver $E_{th}$, on met un circuit ouvert entre A et B:
D'après Millmann, $U_{AB}=\frac{\sum{\frac{E_i}{R_i}}}{\sum{\frac{1}{R_i}}}=\frac{\frac{E_1}{R}+\frac{E_2}{R}+\frac{E_3}{R}+\frac{0}{R}}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R}}=\frac{E_1+E_2+E_3}{4}=E_{th}$  

![[Drawing 2025-10-03 14.07.09.excalidraw]]
Diviseur de tension: $U_{ch}=\frac{R_{ch}}{R_{ch}+R_{th}}\times E_{th}=\frac{R}{R+\frac{5R}{4}}\times \frac{E_1+E_2+E_3}{4}=\frac{E_1+E_2+E_3}{9}$