Un solide est un ensemble de points qui veut être en translation, en rotation... Notions: - Produits vectoriels/scalaires - Matrice d'inertie Matrice d'inertie: Permet de définir l'énergie demandée pour appliquer une rotation à un solide (ou sa resistance à la rotation). Inertie est au moment ce que la force est à la translation. ```python import micropip await micropip.install('matplotlib') await micropip.install('numpy') import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np # Plot in 3D fig = plt.figure() fig.set_label('3D plot') ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') # Plot the vectors ax.quiver(0, 0, 0, 5, 5, 5, color='r') ax.quiver(5, 5, 5, 2, 2, -2, color='b') ax.quiver(7, 7, 3, 2, 2, 6, color='g') # Add vector names ax.text(5, 5, 5, 'A', color='r') ax.text(7, 7, 3, 'B', color='b') ax.text(9, 9, 9, 'M', color='g') # Set the aspect of the plot to be equal ax.set_box_aspect([10,10,10]) size = 10 ax.set_xlim([0, size]) ax.set_ylim([0, size]) ax.set_zlim([0, size]) plt.show() ``` ![[Drawing 2025-09-25 11.16.23.excalidraw|1000]] À gauche, $\theta_1$ est positif, et à droite $\theta_1$ est négatif. Soit $\alpha_1$ l'angle entre l'axe $\overrightarrow{x}$ et $\overrightarrow{OA}$ $\alpha_1=\theta_1+\frac{\pi}{2}$ $\overrightarrow{OA}=l_1(\cos{\alpha_1}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha_1}\overrightarrow{y})$ $\overrightarrow{OA}=l_1(\cos{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}\overrightarrow{x}+\sin{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}\overrightarrow{y})$ Or, par cercle trigonométrique, $\cos{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}=-\sin{\theta_1}$ et $\sin{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}=\cos{\theta_1}$ Donc $\overrightarrow{OA} = l_1(-\sin{\theta_1}\overrightarrow{x}+\cos{\theta_1}\overrightarrow{y})$ $\sin{\alpha}=\frac{AB}{OB}\implies OB=\frac{AB}{\sin{\alpha}}$ $\alpha_2=\alpha_1+\pi+\theta_2$ $\alpha_2=\theta_1+\frac{\pi}{2}+\pi+\theta_2$ $\alpha_2=\theta_1+\theta_2+\frac{3\pi}{2}$ $\overrightarrow{AB}=l_2(\cos{\alpha2}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha2}\overrightarrow{y})$ Avec $\alpha_2=\theta_1+\theta_2+\frac{3\pi}{2}$ Soit $\alpha_{1+2}=\theta_1+\theta_2$ $\cos{(\alpha_{1+2}+\frac{3\pi}{2})}=\sin{\alpha_{1+2}}$ $\sin{(\alpha_{1+2}+\frac{3\pi}{2})}=-\cos{\alpha_{1+2}}$ Donc $\overrightarrow{AB}=l_2(\sin{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{x}-\cos{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{y})$ # Exo2 ![[Drawing 2025-09-25 12.21.28.excalidraw]] $\overrightarrow{OA}=r(\cos{\theta_1}\overrightarrow{x}+\sin{\theta_1}\overrightarrow{y})$ $\alpha_2=\theta_1+\pi+\theta_2$ $\overrightarrow{AB}=b(\cos{\alpha_2}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha_2}\overrightarrow{y}) = b(-\cos{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{x}-\sin{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{y})$ ![[MG.pdf#page=11]] # Cinématique Formule Babar = ![[Pasted image 20251001143754.png]] $\overrightarrow{V}_{M\in S_s/R_0}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0M}(t)|_{B_0}$ ![[TD-Ven. 26 septembre 2025|1000]] Par relation de Chales, $\overrightarrow{O_0A}=\overrightarrow{O_0I}+\overrightarrow{IO_1}+\overrightarrow{O_1A}$ $= X(t)\overrightarrow{x_0} + R\overrightarrow{y_0}+R\overrightarrow{x_1}$ $\overrightarrow{V}_{A\in{1/0}}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0A}|_0$ --> le $0$ dans $1/0$ correspond à $(O_0,B_0)$ avec $O_0$ l'origine et $B_0$ la base. $\frac{d\overrightarrow{IO_1}}{dt}|_0=\frac{d}{dt}R\overrightarrow{y_0}|_0=\frac{d}{dt}R|_0\overrightarrow{y_0}+R\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}|_0$ ![[TD-Ven. 26 septembre 2025 - 2]] $\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt}|_0=?$ $\overrightarrow{x_1}=||\overrightarrow{x_1}||(\cos{\theta}\overrightarrow{x_0}+\sin{\theta}\overrightarrow{y_0})$ $\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt}|_0=(\frac{d}{dt}\cos{\theta(t)})\overrightarrow{x_0}+\cos{theta}\frac{d\overrightarrow{x_0}}{dt}|_0+\frac{d}{dt}(\sin{\theta(t)})\overrightarrow{y_0}+\sin{\theta}\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}$ $= -\dot{\theta}\sin{\theta}\overrightarrow{x_0}+\dot{\theta}\cos{\theta}\overrightarrow{y_0}$ $\Omega_{1/0}=\dot{\theta} \overrightarrow{z}$ $xyzxyz$ Pour calculer le produit vectoriel de $x$ et $y$, on prend le suivant ($z$) Vers la droite, c'est positif ($x • y = z$) et vers la gauche c'est négatif ($y • x = -z$) $\overrightarrow{v}_{O_1}\in{1/0}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0O_1}|_O$ $\overrightarrow{O_0O_1}=\overrightarrow{O_0I}+\overrightarrow{IO_1}=X\overrightarrow{x_0}+R\overrightarrow{y_0}$ $\frac{d}{dt}\times X\overrightarrow{x_0}+R\overrightarrow{y_0}|_O=\dot{X}\overrightarrow{x_0}\times\frac{d\overrightarrow{x_0}}{dt}|_O+\dot{R}\overrightarrow{y_0}+R\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}|_O=\dot{X}\overrightarrow{x_0}$ $\overrightarrow{V_{I\in{1/0}}}=\overrightarrow{V_{O_1\in{1/0}}}+\overrightarrow{IO_1}\overrightarrow{\Omega_{1/0}}$ $=\dot{X}\overrightarrow{x_0}+R\dot{\theta}\overrightarrow{x_0}=(\dot{X}+R\dot{\theta})\overrightarrow{x_0}$ Roulement à bille ![[Drawing 2025-10-01 14.27.18.excalidraw]] Repère fix ($0$) $\rightarrow (\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y})$ Repère se déplaçant avec la bille $\rightarrow (\overrightarrow{e_\theta}, \overrightarrow{e_r})$ Vitesse de la bague intérieure par rapport à $0$: $\Omega_{i/0}=\dot{\theta}_i\overrightarrow{e_z}$ Vitesse de la bague extérieure par rapport à $0$: $\Omega_{e/0}=\dot{\theta}_e\overrightarrow{e_z}$ Calculer la vitesse du point $I\in{\color{red}i}$ Par rapport à $O$: $\overrightarrow{V_{I\in{i/0}}}=\overrightarrow{V_{0\in{i/0}}}+\overrightarrow{IO_1}\overrightarrow{\Omega_{i/0}}$ $=\overrightarrow{0}-r_i\overrightarrow{e_r}\wedge\dot{\theta_i}\overrightarrow{e_z}$ $=-r_i\dot{\theta_i}\overrightarrow{e_r}\wedge\overrightarrow{e_z}=r_i\dot{\theta_i}\overrightarrow{e_\theta}$ $\overrightarrow{V_{J\in{e/0}}}=r_e\dot{\theta_e}\overrightarrow{e_\theta}$ $\overrightarrow{V_{C\in{bi/0}}}=\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}+\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}$ $\overrightarrow{V_{C\in{bi/0}}}=\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}+\overrightarrow{CJ}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}-\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}$ $2\overrightarrow{V_{C\in{bi/0}}}=\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}+\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}$ $I \in bi \quad I \in i$ pas de glissement en $I$ : $\overrightarrow{V_{I \in bi/i}} = \overrightarrow{V_{I \in bi/0}} + \overrightarrow{V_{I \in 0/i}} = \overrightarrow{0}$ $\overrightarrow{V_{I \in bi/0}} = - \overrightarrow{V_{I \in 0/i}} = \overrightarrow{V_{I \in ci/0}} = a \, \dot{\theta}_i \, \overrightarrow{e_\theta}$ $\overrightarrow{V_{J \in bi/0}} = \overrightarrow{V_{J \in ee/0}} = R_e \, \dot{\theta}_e \, \overrightarrow{e_\theta}$ $2 \, \overrightarrow{V_{C \in bi/0}} = \overrightarrow{V_{I \in bi/0}} + \overrightarrow{V_{J \in bi/0}}$ $\overrightarrow{V_{C \in bi/0}} = \tfrac{1}{2} \big( n_i \, \dot{\theta}_i + n_e \, \dot{\theta}_e \big) \, \overrightarrow{e_\theta}$ $\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}-\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}+\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}} + \overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}$ Or, $\overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{X}=\overrightarrow{B}$ $\implies\boxed{\overrightarrow{X}=\overrightarrow{B}\wedge\frac{\overrightarrow{A}}{\overrightarrow{A}•\overrightarrow{A}}+\lambda\overrightarrow{A}}$ $2\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}-\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}$ $2\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=R_e \, \dot{\theta}_e \, \overrightarrow{e_\theta}-R_i \, \dot{\theta}_i \, \overrightarrow{e_\theta}$ $$ \overrightarrow{\Omega_{bi/0}}= (r_e \, \dot{\theta}_e -r_i \, \dot{\theta}_i)\overrightarrow{e_\theta} \wedge \frac { 2\overrightarrow{CI} } { 2\overrightarrow{CI}•2\overrightarrow{CI} } +\lambda2\overrightarrow{CI} $$ $$ \overrightarrow{\Omega_{bi/0}}= (r_e \, \dot{\theta}_e -r_i \, \dot{\theta}_i)\overrightarrow{e_\theta} \wedge \frac { -(r_e-r_i)\overrightarrow{e_r} } { (r_e-r_i)^2 } +\lambda(r_i-r_e)\overrightarrow{e_r} $$ $$ \overrightarrow{\Omega_{bi/0}}= \frac { -(r_e \, \dot{\theta}_e -r_i \, \dot{\theta}_i) } { r_i-r_e } \overrightarrow{e_\theta} \wedge \overrightarrow{e_r} +\lambda(r_i-r_e)\overrightarrow{e_r} $$ $$ \overrightarrow{\Omega_{bi/0}}= \frac { r_i \, \dot{\theta}_i -r_e \, \dot{\theta}_e } { r_i-r_e } \overrightarrow{e_z} +\lambda(r_i-r_e)\overrightarrow{e_r} $$ # Statique À savoir: $\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$, et $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$ ![[Drawing 2025-10-02 09.54.32.excalidraw|1000]] Avec $\color{#AC46C5}\overrightarrow{p}$ le poids, $\color{#8888FF}I$ et $\color{#8888FF}J$ les points de contact entre le chariot et la pente. Avec $m$ la masse du chariot, et $g$ la constante gravitationnelle. $\overrightarrow{IJ}=a\overrightarrow{i}$ $\overrightarrow{HG}=h\overrightarrow{j}$ $\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IH}+\overrightarrow{HG}=\frac{a}{2}\overrightarrow{i}+h\overrightarrow{j}$ $\color{red}\overrightarrow{F_{N1}}\color{white}=F_{N1}\color{red}\overrightarrow{j}$ $\color{orange}\overrightarrow{F_{T1}}\color{white}=F_{T1}\color{red}\overrightarrow{i}$ $\color{red}\overrightarrow{F_{N2}}\color{white}=F_{N2}\color{red}\overrightarrow{j}$ $\color{orange}\overrightarrow{F_{T2}}\color{white}=F_{T2}\color{red}\overrightarrow{i}$ ![[Drawing 2025-10-02 10.15.02.excalidraw|250]] $\color{red}\theta\color{white}=-\alpha+\frac{3\pi}{2}-2\pi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$ $\cos{\color{red}\theta}=\cos{(-(\alpha+\frac{\pi}{2}))}=\cos{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\sin{\alpha}$ $\sin{\color{red}\theta}=\sin{(-(\alpha+\frac{\pi}{2}))}=-\sin{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\cos{\alpha}$ $\color{#AC46C5}\overrightarrow{p}\color{white}=mg(\cos{\color{red}\theta}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}+\sin{\color{red}\theta}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white})$ $\color{#AC46C5}\overrightarrow{p}\color{white}=mg(-\sin{\alpha}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}-\cos{\alpha}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white})$ $\color{#AC46C5}\overrightarrow{p}\color{white}=-mg(\sin{\alpha}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}+\cos{\alpha}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white})$ $$ _I\cases{F_{N_1}\overrightarrow{j}+F_{T_1}\overrightarrow{i} \\ \overrightarrow{0}} + _J\cases{ F_{N_2}\overrightarrow{j}+F_{T_2}\overrightarrow{i} \\ \overrightarrow{0} } + _G\cases{ -mg(\sin{\alpha}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}+\cos{\alpha}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white}) \\ \overrightarrow{0} } =\cases{\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{0}} $$ Comment transporter un torseur: $$ _I\cases{ \overrightarrow{R} \\ \overrightarrow{O}=\overrightarrow{M_{\overrightarrow{R}/I}} }$$ $$ _M\cases{ \overrightarrow{R} \\ \overrightarrow{M_{\overrightarrow{R}/M}} = \overrightarrow{M_{\overrightarrow{R}/I}} +\overrightarrow{MI}\wedge\overrightarrow{R} } $$ $$ _I\cases{ \overrightarrow{F_1} \\ \overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_1}/I}} } +_J\cases{ \overrightarrow{F_2} \\ \overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/J}} } +_G\cases{ \overrightarrow{p} \\ \overrightarrow{0} } =_I\cases{ \overrightarrow{F_1} \\ \overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_1}/I}} } +_I\cases{ \overrightarrow{F_2} \\ \overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/I}} } +_I\cases{ \overrightarrow{p} \\ \overrightarrow{M_{\overrightarrow{p}/I}} } $$ Avec $\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/I}} = \overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/J}} + \overrightarrow{IJ}\wedge\overrightarrow{F_2}$ , avec $\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/J}}=\overrightarrow{0}$. Donc, $\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/I}} = \overrightarrow{IJ}\wedge(F_{N_2}\overrightarrow{j}+F_{T_2}\overrightarrow{i})=a\overrightarrow{i}\wedge(F_{N_2}\overrightarrow{j}+F_{T_2}\overrightarrow{i})=aF_{N2}k$ (car $i\wedge j \rightarrow k$) Avec $\overrightarrow{M_{\overrightarrow{p}/I}} =\overrightarrow{M_{\overrightarrow{p}/G}} + \overrightarrow{IG}\wedge\overrightarrow{p}=0 + (\frac{a}{2}\overrightarrow{i}+h\overrightarrow{j})\wedge(-mg(\sin{\alpha}\overrightarrow{i}+\cos{\alpha}\overrightarrow{j}))=mg(-\frac{a}{2}\cos{\alpha}+h\sin{\alpha})T_2$ Quand il y a frottement, On a ![[Drawing 2025-10-02 11.54.47.excalidraw]] $||\overrightarrow{F_T}||=\lambda_f||\overrightarrow{F_N}||$ $||\overrightarrow{F_T}||≤\lambda_a||\overrightarrow{F_N}||$ $F_{N2}=0$ $-\frac{a}{2}\cos{\alpha_c}+h\sin{\alpha_c}=0$ $h\sin{\alpha_c}=\frac{a}{2}\cos{\alpha_c}$ $\tan{\alpha_c}=\frac{a}{2h}$ $\boxed{\alpha=\tan^{-1}{(\frac{a}{2h})}}$ ![[Drawing 2025-10-02 12.14.37.excalidraw]] Les translations bloquées génèrent des forces, les rotations bloquées génèrent des moments. $\overrightarrow{p}=mg\overrightarrow{x_0}$ $\overrightarrow{R_x}=R_x\overrightarrow{x_0}$ $\overrightarrow{R_y}=R_y\overrightarrow{y_0}$ Torseur statique $\rightarrow _G\cases{mg\overrightarrow{x_0}\\\overrightarrow{0}}+_{O_0}\cases{R_x\overrightarrow{x_0}+R_y\overrightarrow{y_0}\\\overrightarrow{0}}$ ```functionplot --- title: Hope over time xLabel: Time (days) yLabel: Hope (percentage) bounds: [0,30,0,1] disableZoom: true grid: true --- hope(x)=0.85(1-x/30)^0.1 ``` ```functionplot --- title: Understanting over time xLabel: Time (days) yLabel: Understanting (percentage) bounds: [0,30,-5,1] disableZoom: true grid: true --- hope(x)=0.65(1-(x/26)^100) ```