# Exercice ARL2.
## 2.1
1. ![[Drawing 2025-09-29 17.00.30.excalidraw|100]]
   $V^-=\frac{v_s}{\frac{R_2+R_1}{R_2}}\implies V^-=\frac{R_2v_s}{R_1+R_2}$ 
2. CR sur $\boxed{-}$, donc $V^+=V^-$ d'ou $V^-=V_e$
3. On a $V^-=\frac{R_2v_s}{R_1+R_2}=V_e$
   D'ou $\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{V_e}{V_s}=\frac{R_1+R_2}{R_2}=1+\frac{R_1}{R_2}$
4. Avec $R_1=3K\Omega$ et $R_2=9K\Omega$
   $\frac{V_s}{V_e}=\frac{4}{3}$ 
## 2.2
1. ![[Drawing 2025-09-29 17.15.52.excalidraw]]
   En appliquant le théorème de Millman au point $V^-$, 
   $\boxed{V^-=\frac{\frac{V_e}{R_1}+\frac{V_s}{R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}}$
2. Dans un régime linéaire (On sait qu'on est en régime linéaire car la sortie du triangle est reliée à l'entrée - du triangle), $V^-=V^+=0$ 
3. On a donc $V^-=0=\frac{\frac{V_e}{R_1}+\frac{V_s}{R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}$ d'où $\frac{V_e}{R_1}+\frac{V_s}{R_2}=0$
   $\frac{V_s}{R_2}=-\frac{V_e}{R_1}$ d'où $\frac{V_s}{V_e}=-\frac{R_2}{R_1}$
4. $\frac{V_s}{V_e}=-\frac{R_2}{R_1}$ $\implies \frac{V_s}{V_e}=-\frac{9K\Omega}{3K\Omega}=-3$ 
5. On a 
	   - $V_{R_1}=R_1I=V_e-V^- \implies I=\frac{V_e-V^-}{R_1}$
	   - $V_{R_2}=-R_2I=V_s-V^-\implies I=\frac{-(V_s-V^-)}{R_2}$
	D'où $\frac{V_e-V^-}{R_1}=\frac{-(V_s-V^-)}{R_2}$ et $V^+=V^-=0$ donc $\frac{V_e}{R_1}=\frac{-V_s}{R_2}$ et $\boxed{\frac{V_s}{V_e}=-\frac{R_2}{R_1}}$ 

# Exercice ARL3.
![[Pasted image 20251013141437.png]]
1. 
D'après Millman, $V^-=\frac{\frac{V_{e_3}}{R_1}+\frac{V_{e_2}}{R_2}+\frac{V_{e_1}}{R_3}+\frac{V_{out}}{R_4}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}}$ 

2. 
Pour $R_1=R_2=R_3=R_4=1k\Omega$,

$V^-=\frac{\frac{V_{e_3}}{1k\Omega}+\frac{V_{e_2}}{1k\Omega}+\frac{V_{e_1}}{1k\Omega}+\frac{V_{out}}{1k\Omega}}{\frac{1}{1k\Omega}+\frac{1}{1k\Omega}+\frac{1}{1k\Omega}+\frac{1}{1k\Omega}}=\frac{\frac{V_{e_1}+V_{e_2}+V_{e_3}+V_{out}}{1k\Omega}}{\frac{4}{1k\Omega}}=\frac{V_{e_1}+V_{e_2}+V_{e_3}+V_{out}}{4}$ 

Puisque l'AOP est idéal, $V^-=V^+$, et $V^+=0$ donc $V^-=0$,

ainsi, $0=\frac{V_{e_1}+V_{e_2}+V_{e_3}+V_{out}}{4}$
$V_{out}=-V_{e_1}-V_{e_2}-V_{e_3}$.

3. 
$V_{R_1}=V_{e_3}-V^-=R_1i_1$.
Donc, $i_1=\frac{V_{e_3}-V^-}{R_1}=\frac{V_{e_3}}{R_1}$ 

$V_{R_2}=V_{e_2}-V^-=R_2i_2$.
Donc, $i_2=\frac{V_{e_2}-V^-}{R_2}=\frac{V_{e_2}}{R_2}$ 

$V_{R_3}=V_{e_1}-V^-=R_3i_3$.
Donc, $i_3=\frac{V_{e_1}-V^-}{R_3}=\frac{V_{e_1}}{R_3}$ 

$i=\frac{V^--V_{out}}{R_4}=\frac{-V_{out}}{R_4}$

D'après la loi des noeuds, $i=i_1+i_2+i_3$, donc $\frac{-V_{out}}{R_4}=\frac{V_{e_3}}{R_1}+\frac{V_{e_2}}{R_2}+\frac{V_{e_1}}{R_3}$ 

En posant $R_1=R_2=R_3=R_4=R$, On obtient $V_{out}=-(V_{e_1}+V_{e_2}+V_{e_3})$

![[Pasted image 20251013141455.png]]

1. 
D'après Millman, $V^-=\frac{\frac{V_{e_3}}{R_1}+\frac{V_{e_2}}{R_2}+\frac{V_{out}}{R_4}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_4}}$ .

2. 
$V^+=\frac{R_5}{R_3+R_5}V_{e_1}$.

3. 
$V^-=V^+=\boxed{\frac{R_5}{R_3+R_5}V_{e_1}=\frac{\frac{V_{e_3}}{R_1}+\frac{V_{e_2}}{R_2}+\frac{V_{out}}{R_4}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_4}}}$ 

Puisque $R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=R$,
$\frac{R}{2R}V_{e_1}=\frac{\frac{V_{e_3}}{R}+\frac{V_{e_2}}{R}+\frac{V_{out}}{R}}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R}}$ 
$\frac{1}{2}V_{e_1}=\frac{\frac{V_{e_3}}{R}+\frac{V_{e_2}}{R}+\frac{V_{out}}{R}}{\frac{1}{R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{R}}=\frac{\frac{V_{e_3}+V_{e_2}+V_{out}}{R}}{\frac{3}{R}}=\frac{V_{e_3}+V_{e_2}+V_{out}}{3}$ 
$V_{e_1}=2\frac{V_{e_3}+V_{e_2}+V_{out}}{3}=\frac{2}{3}(V_{e_3}+V_{e_2}+V_{out})$ 

$\frac{2}{3}V_{out}=V_{e_1}-\frac{2}{3}(V_{e_3}+V_{e_2})$
$V_{out}=\frac{3}{2}V_{e_1}-(V_{e_3}+V_{e_2})$.

![[Pasted image 20251013151316.png]]

Millman en $V^-$: $V^-=\frac{\frac{V_1'}{R_1}+\frac{V_S}{R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}$ <input type="checkbox" checked="true" >
Millman en $V^+$: $V^-=\frac{\frac{V_2'}{R_1}+\frac{0}{R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}=\frac{\frac{V_2'}{R_1}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}=\frac{R_2V_2'}{R_1+R_2}$ 

On a $V^+=V^-$ car on a une CR sur la borne $\boxed{-}$ (AOP en régime linéaire)
$\frac{\frac{V_1'}{R_1}+\frac{V_S}{R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}=\frac{R_2V_2'}{R_1+R_2}$ 
$\frac{\frac{R_1V_S+R_2V_1'}{R_1R_2}}{\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}}=\frac{R_2V_2'}{R_1+R_2}$ 
$R_1V_S=R_2(V_2'-V_1')$
$\boxed{V_S=\color{red}\boxed{\color{white}\frac{R_2}{R_1}}\color{white}(V_2'-V_1')}$ 
	   $\color{red}A_0$