Un solide est un ensemble de points qui veut être en translation, en rotation...

Notions:
- Produits vectoriels/scalaires
- Matrice d'inertie

Matrice d'inertie: Permet de définir l'énergie demandée pour appliquer une rotation à un solide (ou sa resistance à la rotation).
Inertie est au moment ce que la force est à la translation.

```python
import micropip 
await micropip.install('matplotlib') 
await micropip.install('numpy')

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Plot in 3D
fig = plt.figure()
fig.set_label('3D plot')
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')

# Plot the vectors
ax.quiver(0, 0, 0, 5, 5, 5, color='r')
ax.quiver(5, 5, 5, 2, 2, -2, color='b')
ax.quiver(7, 7, 3, 2, 2, 6, color='g')

# Add vector names
ax.text(5, 5, 5, 'A', color='r')
ax.text(7, 7, 3, 'B', color='b')
ax.text(9, 9, 9, 'M', color='g')

# Set the aspect of the plot to be equal
ax.set_box_aspect([10,10,10])
size = 10
ax.set_xlim([0, size])
ax.set_ylim([0, size])
ax.set_zlim([0, size])

plt.show()
```

![[Drawing 2025-09-25 11.16.23.excalidraw|1000]]
À gauche, $\theta_1$ est positif, et à droite $\theta_1$ est négatif.
Soit $\alpha_1$ l'angle entre l'axe $\overrightarrow{x}$ et $\overrightarrow{OA}$
$\alpha_1=\theta_1+\frac{\pi}{2}$ 

$\overrightarrow{OA}=l_1(\cos{\alpha_1}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha_1}\overrightarrow{y})$
$\overrightarrow{OA}=l_1(\cos{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}\overrightarrow{x}+\sin{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}\overrightarrow{y})$

Or, par cercle trigonométrique, $\cos{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}=-\sin{\theta_1}$ et $\sin{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}=\cos{\theta_1}$

Donc $\overrightarrow{OA} = l_1(-\sin{\theta_1}\overrightarrow{x}+\cos{\theta_1}\overrightarrow{y})$ 

$\sin{\alpha}=\frac{AB}{OB}\implies OB=\frac{AB}{\sin{\alpha}}$ 

$\alpha_2=\alpha_1+\pi+\theta_2$ 
$\alpha_2=\theta_1+\frac{\pi}{2}+\pi+\theta_2$
$\alpha_2=\theta_1+\theta_2+\frac{3\pi}{2}$ 

$\overrightarrow{AB}=l_2(\cos{\alpha2}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha2}\overrightarrow{y})$
Avec $\alpha_2=\theta_1+\theta_2+\frac{3\pi}{2}$ 

Soit $\alpha_{1+2}=\theta_1+\theta_2$

$\cos{(\alpha_{1+2}+\frac{3\pi}{2})}=\sin{\alpha_{1+2}}$ 
$\sin{(\alpha_{1+2}+\frac{3\pi}{2})}=-\cos{\alpha_{1+2}}$ 

Donc $\overrightarrow{AB}=l_2(\sin{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{x}-\cos{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{y})$ 


# Exo2

![[Drawing 2025-09-25 12.21.28.excalidraw]]
$\overrightarrow{OA}=r(\cos{\theta_1}\overrightarrow{x}+\sin{\theta_1}\overrightarrow{y})$ 
$\alpha_2=\theta_1+\pi+\theta_2$ 
$\overrightarrow{AB}=b(\cos{\alpha_2}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha_2}\overrightarrow{y}) = b(-\cos{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{x}-\sin{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{y})$ 


![[MG.pdf#page=11]]

# Cinématique
$\overrightarrow{V}_{M\in S_s/R_0}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0M}(t)|_{B_0}$   

![[TD-Ven. 26 septembre 2025|1000]]
Par relation de Chales,
$\overrightarrow{O_0A}=\overrightarrow{O_0I}+\overrightarrow{IO_1}+\overrightarrow{O_1A}$ 
	$= X(t)\overrightarrow{x_0} + R\overrightarrow{y_0}+R\overrightarrow{x_1}$ 

$\overrightarrow{V}_{A\in{1/0}}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0A}|_0$ 
--> le $0$ dans $1/0$ correspond à $(O_0,B_0)$ avec $O_0$ l'origine et $B_0$ la base.

$\frac{d\overrightarrow{IO_1}}{dt}|_0=\frac{d}{dt}R\overrightarrow{y_0}|_0=\frac{d}{dt}R|_0\overrightarrow{y_0}+R\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}|_0$ 

 ![[TD-Ven. 26 septembre 2025 - 2]]
 $\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt}|_0=?$
 $\overrightarrow{x_1}=||\overrightarrow{x_1}||(\cos{\theta}\overrightarrow{x_0}+\sin{\theta}\overrightarrow{y_0})$
 $\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt}|_0=(\frac{d}{dt}\cos{\theta(t)})\overrightarrow{x_0}+\cos{theta}\frac{d\overrightarrow{x_0}}{dt}|_0+\frac{d}{dt}(\sin{\theta(t)})\overrightarrow{y_0}+\sin{\theta}\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}$ 
	 $= -\dot{\theta}\sin{\theta}\overrightarrow{x_0}+\dot{\theta}\cos{\theta}\overrightarrow{y_0}$ 

$\Omega_{1/0}=\dot{\theta} \overrightarrow{z}$ 

$xyzxyz$
Pour calculer le produit vectoriel de $x$ et $y$, on prend le suivant ($z$)
Vers la droite, c'est positif ($x • y = z$) et vers la gauche c'est négatif ($y • x = -z$)