![[CI-SST81E6_TD1.pdf]]


# Exercice 1:
#### 1. En utilisant l’algorithme d’Euclide étendu, montrez que $169$ et $45$ sont premiers entre eux et trouvez deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $169u+ 45v = 1$

$169=45\times3+34$
$45=34\times1+11$
$34=11\times3+1$
$11=1\times11+0$

Le $PGDC$ est égal à $1$, donc $169$ et $45$ sont premiers entre eux.

Trouvons $u$ et $v$. Formule: $\boxed{u_{k}=u_{k-2}-u_{k-1}\times q_{k}}$ et $\boxed{v_{k}=v_{k-2}-v_{k-1}\times q_{k}}$

|                    | $u_k$      | $v_k$      |
| ------------------ | ---------- | ---------- |
|                    | 1          | 0          |
|                    | 0          | 1          |
| $169=45\times3+34$ | 1          | -3         |
| $45=34\times1+11$  | -1         | 4          |
| $34=11\times3+1$   | 4          | -15        |
| $11=1\times11+0$   | ////////// | ////////// |

Bilan: $\boxed{au+bv=PGDC(a,b)}$ 
Donc, $169\times4+45\times(-15)=1$

#### 2. Retrouvez le fait que $169$ et $45$ sont premiers entre eux en utilisant les décompositions en produit de facteurs premiers de $169$ et $45$.

$169=1\times13^2$
$45=1\times3^2\times5$
Le seul diviseur commun est $1$.

#### 3. Déterminez l’ensemble des couples $(x;y)$ d’entiers relatifs vérifiant les deux conditions suivantes: $(x,y)\in\mathbb{Z}^2,\cases{169x+45y=1 \\ x\in [100,200]\Leftrightarrow x\in\mathbb{Z} \text{ et } 100≤x≤200}$
Solution particulière: $x_{p}=4$ et $y_{p}=-15$ 
$(H)=169x+45y=0$ 

Si $x=45$ et $y=-169$, ça marche.

Solution homogène: $\cases{x=45k \\ y=-169k}\forall k\in\mathbb{Z}$ 
Solution générale: $\cases{x=45k+4 \\ y=-169k-15}\forall k\in\mathbb{Z}$ 
Contrainte: $100≤45k+4≤200 \rightarrow96≤45k≤196\rightarrow\frac{96}{45}≤k≤\frac{196}{45}\rightarrow\approx2.≤k≤\approx4.$ 

Avec $k=3$: $x=45\times3+4=139$ et $y-522$
Avec $k=4$: $x=184$ et $y-691$

#### 4. Inverse de $\cases{\overline{34}=\overline{169} \text{ dans }\mathbb{Z}/45\mathbb{Z} \\ \overline{45} \text{ dans }\mathbb{Z}/169\mathbb{Z}}$ 

$a\in(\mathbb{E},+_{\mathbb{E}},\times_{\mathbb{E}})$,  $\exists a^{-1}\in\mathbb{E}$ tel que $a\times a^{-1}=1_{\mathbb{E}}$ 

On cherche $u\in\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}$ tel que $\overline{34}\times u=\overline{1}\Leftrightarrow\overline{169}\times u=\overline{1}$
On a vue que $169\times4+45\times(-15)=1$, mais dans $\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}$, $45\times(-15)=0$
Donc $\overline{169}\times\overline{4}=\overline{1}$. 
L'inverse de $\overline{34}$, c'est-à-dire l'inverse de $\overline{169}$ dans $\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}$ est $4$. $\overline{34}^{-1}=\overline{4}$

On cherche $v\in\mathbb{Z}/169\mathbb{Z}$ tel que $\overline{45}\times v=\overline{1}$.
On a vu que $169\times4+45\times(-15)=1$, mais dans $\mathbb{Z}/169\mathbb{Z}$, $169\times4=0$
Donc $\overline{45}\times(\overline{-15})=\overline{1}$. 
L'inverse de $\overline{45}$ dans $\mathbb{Z}/169\mathbb{Z}$ est $\overline{-15}$ soit $\overline{154}$.

#### 5. $\cases{\mathbb{A}=\mathbb{M}_2(\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}) \\ U=\pmatrix{\overline{9}&\overline{2} \\ \overline{1}&\overline{4}}}$ 

$\det{U}=\overline{9}\times\overline{4}-\overline{1}\times\overline{2}=\overline{34}$ 

$\boxed{\forall A\in M_n(\mathbb{R}): \exists A^{-1}\text{ si }\det{A}≠0}$ 
$\boxed{\forall A\in M_n(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}): \exists A^{-1}\text{ si }\exists\det{A}^{-1}}$ 

On a $\overline{34}^{-1}=\overline{4}$ donc $\exists U^{-1}$
$U^{-1}=\overline{4}\pmatrix{\overline{4}&\overline{-2} \\ \overline{-1}&\overline{9}}=\pmatrix{\overline{16}&\overline{-8} \\ \overline{-4}&\overline{36}}=\pmatrix{\overline{16}&\overline{37} \\ \overline{41}&\overline{36}}$ 

#### 6. Trouver $(x,y)\in(\mathbb{Z}/45\mathbb{Z})^2$ tel que $\cases{\overline{9}x+\overline{2}y=\overline{1} \\ x + \overline{4}y=\overline{2}}$
$\Leftrightarrow U\times\pmatrix{x\\y}=\pmatrix{\overline{1}\\\overline{2}}$
$\Leftrightarrow\pmatrix{x\\y}=U^{-1}\times\pmatrix{\overline{1}\\\overline{2}}=\pmatrix{\overline{0}\\\overline{68}}=\pmatrix{\overline{0}\\\overline{23}}$ 
car $\exists U^{-1}$

$x=\overline{0}$ et $y=\overline{23}$.


# Exercice 3:

#### 1. $+$ et $\times$ de $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$

| $+$            | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ |
| -------------- | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- |
| $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ |
| $\overline{1}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$ |
| $\overline{2}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ |
| $\overline{3}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ |
| $\overline{4}$ | $\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ |

| $\times$       | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ |
| -------------- | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- |
| $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ |
| $\overline{1}$ | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ |
| $\overline{2}$ | $\overline{0}$ | $\overline{2}$ | $\overline{4}$ | $\overline{1}$ | $\overline{3}$ |
| $\overline{3}$ | $\overline{0}$ | $\overline{3}$ | $\overline{1}$ | $\overline{4}$ | $\overline{2}$ |
| $\overline{4}$ | $\overline{0}$ | $\overline{4}$ | $\overline{3}$ | $\overline{2}$ | $\overline{1}$ |


#### 2. $x\in\cases{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}}$ tel que $x^2+\overline{1}=\overline{0}$ 

Pour $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$:

| $x$                | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ |
| ------------------ | -------------- | -------------- |
| $x^2+\overline{1}$ | $\overline{1}$ | $\overline{0}$ |
$S_2=\{\overline{1}\}$ 

Pour $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$:

| $x$                | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ |
| ------------------ | -------------- | -------------- | -------------- |
| $x^2+\overline{1}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{2}$ |
$S_3=\varnothing$

Pour $\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$:

| $x$                | $\overline{0}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{3}$ | $\overline{4}$ |
| ------------------ | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- | -------------- |
| $x^2+\overline{1}$ | $\overline{1}$ | $\overline{2}$ | $\overline{0}$ | $\overline{0}$ | $\overline{2}$ |
$S_5=\{\overline{2},\overline{3}\}$ 

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# Exercice 2: 
On cherche $x\in[0,100]$ tel que $\cases{x\equiv1[3] \\ x\equiv2[5] \\ x\equiv-1[7]}$ 
$3$, $5$ et $7$ sont premiers et différents, donc premiers entre eux, donc d'après le théorème Chinois, il existe des solutions.
## Première étape
En prenant $\cases{x\equiv1[3] \\ x\equiv2[5]}$, 
$\exists k_1\in\mathbb{Z}$ tel que $x=1+3k_1$
$\exists k_2\in\mathbb{Z}$ tel que $x=2+5k_2$
$1+3k_1=2+5k_2$
$3k_1-5k_2=1$
Solution évidente: on peut prendre $k_1=2$ et $k_2=1$.
$x_p=1+2\times3=2+5=7$.
Solution générale: $x=7+15k\,\forall k\in\mathbb{Z}$.

## Deuxième étape
$\exists k_3 \in\mathbb{Z}$ tel que $x=-1+7k_3$  
$-1+7k_3=7+15k$
$7k_3-15k=8$
Solution évidente: on peut prendre $k_3=-1$ et $k=1$.
$x_p=-1+7\times(-1)=-8$.
$x_h=3\times5\times7\times n \,\forall n \in \mathbb{Z}$
Solution générale: $x=x_p+x_h=-8+3\times5\times7\times n \,\forall n\in\mathbb{Z}$.
$x=-8+105n$.
Or $x\in[0,100]$, donc $0≤-8+105n≤100\implies n=1 \implies x=97$.

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# Exercice 5:
$q\in E=\mathbb{R}[x]$ tel que $\cases{q\equiv-1[x^2+1] \\ q\equiv-x[x-1] \\ q\equiv1\,[x^2-x+1]}$ 

Calculer les racines des moduli polynomiaux, si pas de racines en commun ils sont premiers entre eux:
La racine de $x^2+1$ est $\pm i$ 
La racine de $x-1$ est $1$
La racine de $x^2-x+1$ est différente de $\{\pm i, 1\}$.

Les 3 moduli ont des racines différentes, donc ils sont premiers entre eux.
$\cases{q\equiv-1[x^2+1] \\ q\equiv-x[x-1]}\implies\matrix{q=-1+k_1(x^2+1) \\ q=-x+k_2(x-1)}\,k_1,k_2\in\mathbb{R}[x]$ 
$\implies-1+k_1(x^2+1)=-x+k^2(x-1)$
$\implies k_1(x^2+1)-k_2(x-1)=-x+1$
$x^2+1=(x-1)(x+1)+2$.
$x-1=2(\frac{x-1}{2})+0$

| eq                   | $u$ | $v$      |
| -------------------- | --- | -------- |
|                      | $1$ | $0$      |
|                      | $0$ | $1$      |
| $x^2+1=(x-1)(x+1)+2$ | $1$ | $-(x+1)$ |
$au+bv=r$
$[(x^2+1)-(x-1)(+x+1)=2]\times\frac{1}{2}\times(-x+1)$
$(x^2+1)(-\frac{x+1}{2})-(x-1)((x+1)(-\frac{-x+1}{2}))=-x+1$
On a donc $k_1=-\frac{-x+1}{2}$ et $k_2=(x+1)(-\frac{-x+1}{2})$.

$q_p=-1+(x^2+1)(\frac{-x+1}{2})=+\frac{1}{2}(-x^3+x^2-x-1)$
$q_h=(x^2+1)(x-1)k\,\forall k\in\mathbb{R}[x]$.
$q=q_p+q_h=-\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+k(x^3-x^2+x-1)$ 
$\cases{q\equiv\frac{1}{2}(-x^3+x^2-x-1)[x^3-x^2+x-1] \\ q\equiv1[x^2-x+1]}$

$\exists k_3\in\mathbb{R}[x]$ tel que $q=1+k_3(x^2-x+1)$.

$k_3(x^2-x+1)-k(x^3-x^2+x-1)=\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{3}{2}$.

Euclide:

| eq                         | $u$ | $v$ |
| -------------------------- | --- | --- |
|                            | $1$ | $0$ |
|                            | $0$ | $1$ |
| $x^3-x^2+x-1=(x^2-x+1)x-1$ | 1   | -x  |

$au+bv=r$ avec $r$ dernier reste non nul
$[-(x^3-x^2+x-1)\times1+(x^2-x+1)\times(-x)=-1]\times(-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{3}{2})$
$(x^3-x^2+x-1)(-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{3}{2})+(x^2-x+1)(-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}-\frac{3x}{2})=(-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{3}{2})$ On a donc $k=-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{3}{2}$ et $k_3=-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}-\frac{3x}{2}$.

$q_p=-\frac{x^6}{2}+x^5-\frac{3x^4}{2}-\frac{x^3}{2}+x^2-\frac{3x}{2}+1$
$q_G=q_p+p(x^2+1)(x-1)(x^2-x+1)\,\forall p\in\mathbb{R}[x]$.

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# Exercice 6:
$R(x)=\frac{7x^2-42x-26}{7x^3+7x^2}$
En factorisant le dénominateur: 
$R(x)=\frac{7x^3-42x-26}{7x^2(x+1)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x}$  

Pour $a$, on multiplie tout par $x+1$:
$R_1(x)=\frac{7x^3-42x-26}{7x^2}=a+(\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x})(x+1)$
Et on évalue en $x=-1\implies a=\frac{23}{7}$ 

Pour $b$, on multiplie tout par $x^2$:
$R_2(x)=\frac{7x^3-42x-26}{7(x+1)}=b+(\frac{a}{x+1}+\frac{c}{x})(x^2)$
Et on évalue en $x=0\implies b=\frac{-26}{7}$.

Pour $c$, on remplace $a$ et $b$ et on choisit un $x$ qui nous arrange:
$R_3(x)=\frac{7x^3-42x-26}{7x^2(x+1)}=\frac{\frac{23}{7}}{x+1}+\frac{\frac{-26}{7}}{x^2}+\frac{c}{x}$
$R_3(1)=\frac{7(1)^3-42(1)-26}{7(1)^2((1)+1)}=\frac{\frac{23}{7}}{(1)+1}+\frac{\frac{-26}{7}}{(1)^2}+\frac{c}{(1)}$
$R_3(1)=\frac{-61}{14}=\frac{23}{14}+\frac{-26}{7}+c$
Et on évalue en $x=1\implies c=\frac{3}{14}+\frac{7-42}{24}=\frac{-32}{24}=\frac{-16}{7}$.