2025-09-30 15:51:58 +02:00
Un solide est un ensemble de points qui veut être en translation, en rotation...
Notions:
- Produits vectoriels/scalaires
- Matrice d'inertie
Matrice d'inertie: Permet de définir l'énergie demandée pour appliquer une rotation à un solide (ou sa resistance à la rotation).
Inertie est au moment ce que la force est à la translation.
```python
import micropip
await micropip.install('matplotlib')
await micropip.install('numpy')
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Plot in 3D
fig = plt.figure()
fig.set_label('3D plot')
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
# Plot the vectors
ax.quiver(0, 0, 0, 5, 5, 5, color='r')
ax.quiver(5, 5, 5, 2, 2, -2, color='b')
ax.quiver(7, 7, 3, 2, 2, 6, color='g')
# Add vector names
ax.text(5, 5, 5, 'A', color='r')
ax.text(7, 7, 3, 'B', color='b')
ax.text(9, 9, 9, 'M', color='g')
# Set the aspect of the plot to be equal
ax.set_box_aspect([10,10,10])
size = 10
ax.set_xlim([0, size])
ax.set_ylim([0, size])
ax.set_zlim([0, size])
plt.show()
```
![[Drawing 2025-09-25 11.16.23.excalidraw|1000]]
À gauche, $\theta_1$ est positif, et à droite $\theta_1$ est négatif.
Soit $\alpha_1$ l'angle entre l'axe $\overrightarrow{x}$ et $\overrightarrow{OA}$
$\alpha_1=\theta_1+\frac{\pi}{2}$
$\overrightarrow{OA}=l_1(\cos{\alpha_1}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha_1}\overrightarrow{y})$
$\overrightarrow{OA}=l_1(\cos{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}\overrightarrow{x}+\sin{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}\overrightarrow{y})$
Or, par cercle trigonométrique, $\cos{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}=-\sin{\theta_1}$ et $\sin{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}=\cos{\theta_1}$
Donc $\overrightarrow{OA} = l_1(-\sin{\theta_1}\overrightarrow{x}+\cos{\theta_1}\overrightarrow{y})$
$\sin{\alpha}=\frac{AB}{OB}\implies OB=\frac{AB}{\sin{\alpha}}$
$\alpha_2=\alpha_1+\pi+\theta_2$
$\alpha_2=\theta_1+\frac{\pi}{2}+\pi+\theta_2$
$\alpha_2=\theta_1+\theta_2+\frac{3\pi}{2}$
$\overrightarrow{AB}=l_2(\cos{\alpha2}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha2}\overrightarrow{y})$
Avec $\alpha_2=\theta_1+\theta_2+\frac{3\pi}{2}$
Soit $\alpha_{1+2}=\theta_1+\theta_2$
$\cos{(\alpha_{1+2}+\frac{3\pi}{2})}=\sin{\alpha_{1+2}}$
$\sin{(\alpha_{1+2}+\frac{3\pi}{2})}=-\cos{\alpha_{1+2}}$
Donc $\overrightarrow{AB}=l_2(\sin{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{x}-\cos{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{y})$
# Exo2
![[Drawing 2025-09-25 12.21.28.excalidraw]]
$\overrightarrow{OA}=r(\cos{\theta_1}\overrightarrow{x}+\sin{\theta_1}\overrightarrow{y})$
$\alpha_2=\theta_1+\pi+\theta_2$
$\overrightarrow{AB}=b(\cos{\alpha_2}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha_2}\overrightarrow{y}) = b(-\cos{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{x}-\sin{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{y})$
![[MG.pdf#page =11]]
# Cinématique
2025-10-12 14:15:39 +02:00
Formule Babar = ![[Pasted image 20251001143754.png]]
2025-09-30 15:51:58 +02:00
$\overrightarrow{V}_{M\in S_s/R_0}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0M}(t)|_{B_0}$
![[TD-Ven. 26 septembre 2025|1000]]
Par relation de Chales,
$\overrightarrow{O_0A}=\overrightarrow{O_0I}+\overrightarrow{IO_1}+\overrightarrow{O_1A}$
$= X(t)\overrightarrow{x_0} + R\overrightarrow{y_0}+R\overrightarrow{x_1}$
$\overrightarrow{V}_{A\in{1/0}}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0A}|_0$
--> le $0$ dans $1/0$ correspond à $(O_0,B_0)$ avec $O_0$ l'origine et $B_0$ la base.
$\frac{d\overrightarrow{IO_1}}{dt}|_0=\frac{d}{dt}R\overrightarrow{y_0}|_0=\frac{d}{dt}R|_0\overrightarrow{y_0}+R\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}|_0$
![[TD-Ven. 26 septembre 2025 - 2]]
$\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt}|_0=?$
$\overrightarrow{x_1}=||\overrightarrow{x_1}||(\cos{\theta}\overrightarrow{x_0}+\sin{\theta}\overrightarrow{y_0})$
$\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt}|_0=(\frac{d}{dt}\cos{\theta(t)})\overrightarrow{x_0}+\cos{theta}\frac{d\overrightarrow{x_0}}{dt}|_0+\frac{d}{dt}(\sin{\theta(t)})\overrightarrow{y_0}+\sin{\theta}\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}$
$= -\dot{\theta}\sin{\theta}\overrightarrow{x_0}+\dot{\theta}\cos{\theta}\overrightarrow{y_0}$
$\Omega_{1/0}=\dot{\theta} \overrightarrow{z}$
$xyzxyz$
Pour calculer le produit vectoriel de $x$ et $y$, on prend le suivant ($z$)
Vers la droite, c'est positif ($x • y = z$) et vers la gauche c'est négatif ($y • x = -z$)
2025-10-12 14:15:39 +02:00
$\overrightarrow{v}_{O_1}\in{1/0}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0O_1}|_O$
$\overrightarrow{O_0O_1}=\overrightarrow{O_0I}+\overrightarrow{IO_1}=X\overrightarrow{x_0}+R\overrightarrow{y_0}$
$\frac{d}{dt}\times X\overrightarrow{x_0}+R\overrightarrow{y_0}|_O=\dot{X}\overrightarrow{x_0}\times\frac{d\overrightarrow{x_0}}{dt}|_O+\dot{R}\overrightarrow{y_0}+R\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}|_O=\dot{X}\overrightarrow{x_0}$
$\overrightarrow{V_{I\in{1/0}}}=\overrightarrow{V_{O_1\in{1/0}}}+\overrightarrow{IO_1}\overrightarrow{\Omega_{1/0}}$
$=\dot{X}\overrightarrow{x_0}+R\dot{\theta}\overrightarrow{x_0}=(\dot{X}+R\dot{\theta})\overrightarrow{x_0}$
Roulement à bille
![[Drawing 2025-10-01 14.27.18.excalidraw]]
Repère fix ($0$) $\rightarrow (\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y})$
Repère se déplaçant avec la bille $\rightarrow (\overrightarrow{e_\theta}, \overrightarrow{e_r})$
Vitesse de la bague intérieure par rapport à $0$: $\Omega_{i/0}=\dot{\theta}_i\overrightarrow{e_z}$
Vitesse de la bague extérieure par rapport à $0$: $\Omega_{e/0}=\dot{\theta}_e\overrightarrow{e_z}$
Calculer la vitesse du point $I\in{\color{red}i}$ Par rapport à $O$:
$\overrightarrow{V_{I\in{i/0}}}=\overrightarrow{V_{0\in{i/0}}}+\overrightarrow{IO_1}\overrightarrow{\Omega_{i/0}}$
$=\overrightarrow{0}-r_i\overrightarrow{e_r}\wedge\dot{\theta_i}\overrightarrow{e_z}$
$=-r_i\dot{\theta_i}\overrightarrow{e_r}\wedge\overrightarrow{e_z}=r_i\dot{\theta_i}\overrightarrow{e_\theta}$
$\overrightarrow{V_{J\in{e/0}}}=r_e\dot{\theta_e}\overrightarrow{e_\theta}$
$\overrightarrow{V_{C\in{bi/0}}}=\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}+\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}$
$\overrightarrow{V_{C\in{bi/0}}}=\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}+\overrightarrow{CJ}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}-\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}$
$2\overrightarrow{V_{C\in{bi/0}}}=\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}+\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}$
$I \in bi \quad I \in i$
pas de glissement en $I$ :
$\overrightarrow{V_{I \in bi/i}} = \overrightarrow{V_{I \in bi/0}} + \overrightarrow{V_{I \in 0/i}} = \overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{V_{I \in bi/0}} = - \overrightarrow{V_{I \in 0/i}} = \overrightarrow{V_{I \in ci/0}} = a \, \dot{\theta}_i \, \overrightarrow{e_\theta}$
$\overrightarrow{V_{J \in bi/0}} = \overrightarrow{V_{J \in ee/0}} = R_e \, \dot{\theta}_e \, \overrightarrow{e_\theta}$
$2 \, \overrightarrow{V_{C \in bi/0}} = \overrightarrow{V_{I \in bi/0}} + \overrightarrow{V_{J \in bi/0}}$
$\overrightarrow{V_{C \in bi/0}} = \tfrac{1}{2} \big( n_i \, \dot{\theta}_i + n_e \, \dot{\theta}_e \big) \, \overrightarrow{e_\theta}$
$\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}-\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}+\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}} + \overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}$
Or, $\overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{X}=\overrightarrow{B}$ $\implies\boxed{\overrightarrow{X}=\overrightarrow{B}\wedge\frac{\overrightarrow{A}}{\overrightarrow{A}•\overrightarrow{A}}+\lambda\overrightarrow{A}}$
$2\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}-\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}$
$2\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=R_e \, \dot{\theta}_e \, \overrightarrow{e_\theta}-R_i \, \dot{\theta}_i \, \overrightarrow{e_\theta}$
$$
\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=
(r_e \, \dot{\theta}_e
-r_i \, \dot{\theta}_i)\overrightarrow{e_\theta}
\wedge
\frac
{
2\overrightarrow{CI}
}
{
2\overrightarrow{CI}•2\overrightarrow{CI}
}
+\lambda2\overrightarrow{CI}
$$
$$
\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=
(r_e \, \dot{\theta}_e
-r_i \, \dot{\theta}_i)\overrightarrow{e_\theta}
\wedge
\frac
{
-(r_e-r_i)\overrightarrow{e_r}
}
{
(r_e-r_i)^2
}
+\lambda(r_i-r_e)\overrightarrow{e_r}
$$
$$
\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=
\frac
{
-(r_e \, \dot{\theta}_e
-r_i \, \dot{\theta}_i)
}
{
r_i-r_e
}
\overrightarrow{e_\theta}
\wedge
\overrightarrow{e_r}
+\lambda(r_i-r_e)\overrightarrow{e_r}
$$
$$
\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=
\frac
{
r_i \, \dot{\theta}_i
-r_e \, \dot{\theta}_e
}
{
r_i-r_e
}
\overrightarrow{e_z}
+\lambda(r_i-r_e)\overrightarrow{e_r}
$$
# Statique
À savoir:
$\cos(-\alpha)=\cos(\alpha)$, et $\sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)$
![[Drawing 2025-10-02 09.54.32.excalidraw|1000]]
Avec $\color{#AC46C5 }\overrightarrow{p}$ le poids, $\color{#8888FF }I$ et $\color{#8888FF }J$ les points de contact entre le chariot et la pente.
Avec $m$ la masse du chariot, et $g$ la constante gravitationnelle.
$\overrightarrow{IJ}=a\overrightarrow{i}$
$\overrightarrow{HG}=h\overrightarrow{j}$
$\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IH}+\overrightarrow{HG}=\frac{a}{2}\overrightarrow{i}+h\overrightarrow{j}$
$\color{red}\overrightarrow{F_{N1}}\color{white}=F_{N1}\color{red}\overrightarrow{j}$
$\color{orange}\overrightarrow{F_{T1}}\color{white}=F_{T1}\color{red}\overrightarrow{i}$
$\color{red}\overrightarrow{F_{N2}}\color{white}=F_{N2}\color{red}\overrightarrow{j}$
$\color{orange}\overrightarrow{F_{T2}}\color{white}=F_{T2}\color{red}\overrightarrow{i}$
![[Drawing 2025-10-02 10.15.02.excalidraw|250]]
$\color{red}\theta\color{white}=-\alpha+\frac{3\pi}{2}-2\pi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})$
$\cos{\color{red}\theta}=\cos{(-(\alpha+\frac{\pi}{2}))}=\cos{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\sin{\alpha}$
$\sin{\color{red}\theta}=\sin{(-(\alpha+\frac{\pi}{2}))}=-\sin{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\cos{\alpha}$
$\color{#AC46C5 }\overrightarrow{p}\color{white}=mg(\cos{\color{red}\theta}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}+\sin{\color{red}\theta}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white})$
$\color{#AC46C5 }\overrightarrow{p}\color{white}=mg(-\sin{\alpha}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}-\cos{\alpha}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white})$
$\color{#AC46C5 }\overrightarrow{p}\color{white}=-mg(\sin{\alpha}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}+\cos{\alpha}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white})$
$$
_I\cases{F_{N_1}\overrightarrow{j}+F_{T_1}\overrightarrow{i} \\ \overrightarrow{0}}
+ _J\cases{
F_{N_2}\overrightarrow{j}+F_{T_2}\overrightarrow{i} \\
\overrightarrow{0}
}
+ _G\cases{
-mg(\sin{\alpha}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}+\cos{\alpha}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white}) \\
\overrightarrow{0}
}
=\cases{\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{0}}
$$
Comment transporter un torseur:
$$
_I\cases{
\overrightarrow{R} \\
\overrightarrow{O}=\overrightarrow{M_{\overrightarrow{R}/I}}
}$$ $$
_M\cases{
\overrightarrow{R} \\
\overrightarrow{M_{\overrightarrow{R}/M}} = \overrightarrow{M_{\overrightarrow{R}/I}} +\overrightarrow{MI}\wedge\overrightarrow{R}
}
$$
$$
_I\cases{
\overrightarrow{F_1} \\
\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_1}/I}}
}
+_J\cases{
\overrightarrow{F_2} \\
\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/J}}
}
+_G\cases{
\overrightarrow{p} \\
\overrightarrow{0}
}
=_I\cases{
\overrightarrow{F_1} \\
\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_1}/I}}
}
+_I\cases{
\overrightarrow{F_2} \\
\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/I}}
}
+_I\cases{
\overrightarrow{p} \\
\overrightarrow{M_{\overrightarrow{p}/I}}
}
$$
Avec $\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/I}} = \overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/J}} + \overrightarrow{IJ}\wedge\overrightarrow{F_2}$ , avec $\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/J}}=\overrightarrow{0}$. Donc,
$\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/I}} = \overrightarrow{IJ}\wedge(F_{N_2}\overrightarrow{j}+F_{T_2}\overrightarrow{i})=a\overrightarrow{i}\wedge(F_{N_2}\overrightarrow{j}+F_{T_2}\overrightarrow{i})=aF_{N2}k$ (car $i\wedge j \rightarrow k$)
Avec $\overrightarrow{M_{\overrightarrow{p}/I}} =\overrightarrow{M_{\overrightarrow{p}/G}} + \overrightarrow{IG}\wedge\overrightarrow{p}=0 + (\frac{a}{2}\overrightarrow{i}+h\overrightarrow{j})\wedge(-mg(\sin{\alpha}\overrightarrow{i}+\cos{\alpha}\overrightarrow{j}))=mg(-\frac{a}{2}\cos{\alpha}+h\sin{\alpha})T_2$
Quand il y a frottement, On a ![[Drawing 2025-10-02 11.54.47.excalidraw]] $||\overrightarrow{F_T}||=\lambda_f||\overrightarrow{F_N}||$
$||\overrightarrow{F_T}||≤\lambda_a||\overrightarrow{F_N}||$
$F_{N2}=0$
$-\frac{a}{2}\cos{\alpha_c}+h\sin{\alpha_c}=0$
$h\sin{\alpha_c}=\frac{a}{2}\cos{\alpha_c}$
$\tan{\alpha_c}=\frac{a}{2h}$
$\boxed{\alpha=\tan^{-1}{(\frac{a}{2h})}}$
![[Drawing 2025-10-02 12.14.37.excalidraw]]
Les translations bloquées génèrent des forces,
les rotations bloquées génèrent des moments.
$\overrightarrow{p}=mg\overrightarrow{x_0}$
$\overrightarrow{R_x}=R_x\overrightarrow{x_0}$
$\overrightarrow{R_y}=R_y\overrightarrow{y_0}$
Torseur statique $\rightarrow _G\cases{mg\overrightarrow{x_0}\\\overrightarrow{0}}+_{O_0}\cases{R_x\overrightarrow{x_0}+R_y\overrightarrow{y_0}\\\overrightarrow{0}}$
```functionplot
---
title: Hope over time
xLabel: Time (days)
yLabel: Hope (percentage)
bounds: [0,30,0,1]
disableZoom: true
grid: true
---
hope(x)=0.85(1-x/30)^0.1
```
```functionplot
---
title: Understanting over time
xLabel: Time (days)
yLabel: Understanting (percentage)
bounds: [0,30,-5,1]
disableZoom: true
grid: true
---
hope(x)=0.65(1-(x/26)^100)
```
