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Un solide est un ensemble de points qui veut être en translation, en rotation...
Notions:
- Produits vectoriels/scalaires
- Matrice d'inertie
Matrice d'inertie: Permet de définir l'énergie demandée pour appliquer une rotation à un solide (ou sa resistance à la rotation). Inertie est au moment ce que la force est à la translation.
import micropip
await micropip.install('matplotlib')
await micropip.install('numpy')
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Plot in 3D
fig = plt.figure()
fig.set_label('3D plot')
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
# Plot the vectors
ax.quiver(0, 0, 0, 5, 5, 5, color='r')
ax.quiver(5, 5, 5, 2, 2, -2, color='b')
ax.quiver(7, 7, 3, 2, 2, 6, color='g')
# Add vector names
ax.text(5, 5, 5, 'A', color='r')
ax.text(7, 7, 3, 'B', color='b')
ax.text(9, 9, 9, 'M', color='g')
# Set the aspect of the plot to be equal
ax.set_box_aspect([10,10,10])
size = 10
ax.set_xlim([0, size])
ax.set_ylim([0, size])
ax.set_zlim([0, size])
plt.show()
!Drawing 2025-09-25 11.16.23.excalidraw
À gauche, \theta_1 est positif, et à droite \theta_1 est négatif.
Soit \alpha_1 l'angle entre l'axe \overrightarrow{x} et \overrightarrow{OA}
\alpha_1=\theta_1+\frac{\pi}{2}
\overrightarrow{OA}=l_1(\cos{\alpha_1}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha_1}\overrightarrow{y})
\overrightarrow{OA}=l_1(\cos{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}\overrightarrow{x}+\sin{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}\overrightarrow{y})
Or, par cercle trigonométrique, \cos{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}=-\sin{\theta_1} et \sin{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}=\cos{\theta_1}
Donc \overrightarrow{OA} = l_1(-\sin{\theta_1}\overrightarrow{x}+\cos{\theta_1}\overrightarrow{y})
\sin{\alpha}=\frac{AB}{OB}\implies OB=\frac{AB}{\sin{\alpha}}
\alpha_2=\alpha_1+\pi+\theta_2
\alpha_2=\theta_1+\frac{\pi}{2}+\pi+\theta_2
\alpha_2=\theta_1+\theta_2+\frac{3\pi}{2}
\overrightarrow{AB}=l_2(\cos{\alpha2}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha2}\overrightarrow{y})
Avec \alpha_2=\theta_1+\theta_2+\frac{3\pi}{2}
Soit \alpha_{1+2}=\theta_1+\theta_2
\cos{(\alpha_{1+2}+\frac{3\pi}{2})}=\sin{\alpha_{1+2}}
\sin{(\alpha_{1+2}+\frac{3\pi}{2})}=-\cos{\alpha_{1+2}}
Donc \overrightarrow{AB}=l_2(\sin{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{x}-\cos{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{y})
Exo2
!Drawing 2025-09-25 12.21.28.excalidraw
\overrightarrow{OA}=r(\cos{\theta_1}\overrightarrow{x}+\sin{\theta_1}\overrightarrow{y})
\alpha_2=\theta_1+\pi+\theta_2
\overrightarrow{AB}=b(\cos{\alpha_2}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha_2}\overrightarrow{y}) = b(-\cos{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{x}-\sin{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{y})
Cinématique
Formule Babar = !
\overrightarrow{V}_{M\in S_s/R_0}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0M}(t)|_{B_0}
!TD-Ven. 26 septembre 2025
Par relation de Chales,
\overrightarrow{O_0A}=\overrightarrow{O_0I}+\overrightarrow{IO_1}+\overrightarrow{O_1A}
= X(t)\overrightarrow{x_0} + R\overrightarrow{y_0}+R\overrightarrow{x_1}
\overrightarrow{V}_{A\in{1/0}}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0A}|_0
--> le 0 dans 1/0 correspond à (O_0,B_0) avec O_0 l'origine et B_0 la base.
\frac{d\overrightarrow{IO_1}}{dt}|_0=\frac{d}{dt}R\overrightarrow{y_0}|_0=\frac{d}{dt}R|_0\overrightarrow{y_0}+R\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}|_0
!TD-Ven. 26 septembre 2025 - 2
\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt}|_0=?
\overrightarrow{x_1}=||\overrightarrow{x_1}||(\cos{\theta}\overrightarrow{x_0}+\sin{\theta}\overrightarrow{y_0})
\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt}|_0=(\frac{d}{dt}\cos{\theta(t)})\overrightarrow{x_0}+\cos{theta}\frac{d\overrightarrow{x_0}}{dt}|_0+\frac{d}{dt}(\sin{\theta(t)})\overrightarrow{y_0}+\sin{\theta}\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}
= -\dot{\theta}\sin{\theta}\overrightarrow{x_0}+\dot{\theta}\cos{\theta}\overrightarrow{y_0}
\Omega_{1/0}=\dot{\theta} \overrightarrow{z}
xyzxyz
Pour calculer le produit vectoriel de x et y, on prend le suivant (z)
Vers la droite, c'est positif (x • y = z) et vers la gauche c'est négatif (y • x = -z)
\overrightarrow{v}_{O_1}\in{1/0}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0O_1}|_O
\overrightarrow{O_0O_1}=\overrightarrow{O_0I}+\overrightarrow{IO_1}=X\overrightarrow{x_0}+R\overrightarrow{y_0}
\frac{d}{dt}\times X\overrightarrow{x_0}+R\overrightarrow{y_0}|_O=\dot{X}\overrightarrow{x_0}\times\frac{d\overrightarrow{x_0}}{dt}|_O+\dot{R}\overrightarrow{y_0}+R\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}|_O=\dot{X}\overrightarrow{x_0}
\overrightarrow{V_{I\in{1/0}}}=\overrightarrow{V_{O_1\in{1/0}}}+\overrightarrow{IO_1}\overrightarrow{\Omega_{1/0}}
=\dot{X}\overrightarrow{x_0}+R\dot{\theta}\overrightarrow{x_0}=(\dot{X}+R\dot{\theta})\overrightarrow{x_0}
Roulement à bille
!Drawing 2025-10-01 14.27.18.excalidraw
Repère fix (0) \rightarrow (\overrightarrow{e_x}, \overrightarrow{e_y})
Repère se déplaçant avec la bille \rightarrow (\overrightarrow{e_\theta}, \overrightarrow{e_r})
Vitesse de la bague intérieure par rapport à 0: \Omega_{i/0}=\dot{\theta}_i\overrightarrow{e_z}
Vitesse de la bague extérieure par rapport à 0: \Omega_{e/0}=\dot{\theta}_e\overrightarrow{e_z}
Calculer la vitesse du point I\in{\color{red}i} Par rapport à O:
\overrightarrow{V_{I\in{i/0}}}=\overrightarrow{V_{0\in{i/0}}}+\overrightarrow{IO_1}\overrightarrow{\Omega_{i/0}}
=\overrightarrow{0}-r_i\overrightarrow{e_r}\wedge\dot{\theta_i}\overrightarrow{e_z}
=-r_i\dot{\theta_i}\overrightarrow{e_r}\wedge\overrightarrow{e_z}=r_i\dot{\theta_i}\overrightarrow{e_\theta}
\overrightarrow{V_{J\in{e/0}}}=r_e\dot{\theta_e}\overrightarrow{e_\theta}
\overrightarrow{V_{C\in{bi/0}}}=\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}+\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}
\overrightarrow{V_{C\in{bi/0}}}=\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}+\overrightarrow{CJ}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}-\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}
2\overrightarrow{V_{C\in{bi/0}}}=\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}+\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}
I \in bi \quad I \in i
pas de glissement en I :
\overrightarrow{V_{I \in bi/i}} = \overrightarrow{V_{I \in bi/0}} + \overrightarrow{V_{I \in 0/i}} = \overrightarrow{0}
\overrightarrow{V_{I \in bi/0}} = - \overrightarrow{V_{I \in 0/i}} = \overrightarrow{V_{I \in ci/0}} = a \, \dot{\theta}_i \, \overrightarrow{e_\theta}
\overrightarrow{V_{J \in bi/0}} = \overrightarrow{V_{J \in ee/0}} = R_e \, \dot{\theta}_e \, \overrightarrow{e_\theta}
2 \, \overrightarrow{V_{C \in bi/0}} = \overrightarrow{V_{I \in bi/0}} + \overrightarrow{V_{J \in bi/0}}
\overrightarrow{V_{C \in bi/0}} = \tfrac{1}{2} \big( n_i \, \dot{\theta}_i + n_e \, \dot{\theta}_e \big) \, \overrightarrow{e_\theta}
\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}-\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}+\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}} + \overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}
Or, \overrightarrow{A}\wedge\overrightarrow{X}=\overrightarrow{B} \implies\boxed{\overrightarrow{X}=\overrightarrow{B}\wedge\frac{\overrightarrow{A}}{\overrightarrow{A}•\overrightarrow{A}}+\lambda\overrightarrow{A}}
2\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=\overrightarrow{V_{J\in{bi/0}}}-\overrightarrow{V_{I\in{bi/0}}}
2\overrightarrow{CI}\wedge\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=R_e \, \dot{\theta}_e \, \overrightarrow{e_\theta}-R_i \, \dot{\theta}_i \, \overrightarrow{e_\theta}
\overrightarrow{\Omega_{bi/0}}=
(r_e , \dot{\theta}e
-r_i , \dot{\theta}i)\overrightarrow{e\theta}
\wedge
\frac
{
2\overrightarrow{CI}
}
{
2\overrightarrow{CI}•2\overrightarrow{CI}
}
+\lambda2\overrightarrow{CI}
\overrightarrow{\Omega{bi/0}}=
(r_e , \dot{\theta}e
-r_i , \dot{\theta}i)\overrightarrow{e\theta}
\wedge
\frac
{
-(r_e-r_i)\overrightarrow{e_r}
}
{
(r_e-r_i)^2
}
+\lambda(r_i-r_e)\overrightarrow{e_r}
\overrightarrow{\Omega{bi/0}}=
\frac
{
-(r_e , \dot{\theta}e
-r_i , \dot{\theta}i)
}
{
r_i-r_e
}
\overrightarrow{e\theta}
\wedge
\overrightarrow{e_r}
+\lambda(r_i-r_e)\overrightarrow{e_r}
\overrightarrow{\Omega{bi/0}}=
\frac
{
r_i , \dot{\theta}_i
-r_e , \dot{\theta}_e
}
{
r_i-r_e
}
\overrightarrow{e_z}
+\lambda(r_i-r_e)\overrightarrow{e_r}
Statique
À savoir:
\cos(-\alpha)=\cos(\alpha), et \sin(-\alpha)=-\sin(\alpha)
!Drawing 2025-10-02 09.54.32.excalidraw
Avec \color{#AC46C5}\overrightarrow{p} le poids, \color{#8888FF}I et \color{#8888FF}J les points de contact entre le chariot et la pente.
Avec m la masse du chariot, et g la constante gravitationnelle.
\overrightarrow{IJ}=a\overrightarrow{i}
\overrightarrow{HG}=h\overrightarrow{j}
\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{IH}+\overrightarrow{HG}=\frac{a}{2}\overrightarrow{i}+h\overrightarrow{j}
\color{red}\overrightarrow{F_{N1}}\color{white}=F_{N1}\color{red}\overrightarrow{j}
\color{orange}\overrightarrow{F_{T1}}\color{white}=F_{T1}\color{red}\overrightarrow{i}
\color{red}\overrightarrow{F_{N2}}\color{white}=F_{N2}\color{red}\overrightarrow{j}
\color{orange}\overrightarrow{F_{T2}}\color{white}=F_{T2}\color{red}\overrightarrow{i}
!Drawing 2025-10-02 10.15.02.excalidraw
\color{red}\theta\color{white}=-\alpha+\frac{3\pi}{2}-2\pi=-(\alpha+\frac{\pi}{2})
\cos{\color{red}\theta}=\cos{(-(\alpha+\frac{\pi}{2}))}=\cos{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\sin{\alpha}
\sin{\color{red}\theta}=\sin{(-(\alpha+\frac{\pi}{2}))}=-\sin{(\alpha+\frac{\pi}{2})}=-\cos{\alpha}
\color{#AC46C5}\overrightarrow{p}\color{white}=mg(\cos{\color{red}\theta}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}+\sin{\color{red}\theta}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white})
\color{#AC46C5}\overrightarrow{p}\color{white}=mg(-\sin{\alpha}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}-\cos{\alpha}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white})
\color{#AC46C5}\overrightarrow{p}\color{white}=-mg(\sin{\alpha}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}+\cos{\alpha}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white})
I\cases{F{N_1}\overrightarrow{j}+F_{T_1}\overrightarrow{i} \ \overrightarrow{0}}
- J\cases{ F{N_2}\overrightarrow{j}+F_{T_2}\overrightarrow{i} \ \overrightarrow{0} }
- _G\cases{
-mg(\sin{\alpha}\color{red}\overrightarrow{i}\color{white}+\cos{\alpha}\color{red}\overrightarrow{j}\color{white}) \
\overrightarrow{0}
}
=\cases{\overrightarrow{0} \ \overrightarrow{0}}
Comment transporter un torseur:
I\cases{
\overrightarrow{R} \
\overrightarrow{O}=\overrightarrow{M{\overrightarrow{R}/I}}
}
M\cases{
\overrightarrow{R} \
\overrightarrow{M{\overrightarrow{R}/M}} = \overrightarrow{M_{\overrightarrow{R}/I}} +\overrightarrow{MI}\wedge\overrightarrow{R}
}
I\cases{
\overrightarrow{F_1} \
\overrightarrow{M{\overrightarrow{F_1}/I}}
}
+J\cases{
\overrightarrow{F_2} \
\overrightarrow{M{\overrightarrow{F_2}/J}}
}
+_G\cases{
\overrightarrow{p} \
\overrightarrow{0}
}
=I\cases{
\overrightarrow{F_1} \
\overrightarrow{M{\overrightarrow{F_1}/I}}
}
+I\cases{
\overrightarrow{F_2} \
\overrightarrow{M{\overrightarrow{F_2}/I}}
}
+I\cases{
\overrightarrow{p} \
\overrightarrow{M{\overrightarrow{p}/I}}
}
Avec \overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/I}} = \overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/J}} + \overrightarrow{IJ}\wedge\overrightarrow{F_2} , avec \overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/J}}=\overrightarrow{0}. Donc,
\overrightarrow{M_{\overrightarrow{F_2}/I}} = \overrightarrow{IJ}\wedge(F_{N_2}\overrightarrow{j}+F_{T_2}\overrightarrow{i})=a\overrightarrow{i}\wedge(F_{N_2}\overrightarrow{j}+F_{T_2}\overrightarrow{i})=aF_{N2}k (car i\wedge j \rightarrow k)
Avec \overrightarrow{M_{\overrightarrow{p}/I}} =\overrightarrow{M_{\overrightarrow{p}/G}} + \overrightarrow{IG}\wedge\overrightarrow{p}=0 + (\frac{a}{2}\overrightarrow{i}+h\overrightarrow{j})\wedge(-mg(\sin{\alpha}\overrightarrow{i}+\cos{\alpha}\overrightarrow{j}))=mg(-\frac{a}{2}\cos{\alpha}+h\sin{\alpha})T_2
Quand il y a frottement, On a !Drawing 2025-10-02 11.54.47.excalidraw ||\overrightarrow{F_T}||=\lambda_f||\overrightarrow{F_N}||
||\overrightarrow{F_T}||≤\lambda_a||\overrightarrow{F_N}||
F_{N2}=0
-\frac{a}{2}\cos{\alpha_c}+h\sin{\alpha_c}=0
h\sin{\alpha_c}=\frac{a}{2}\cos{\alpha_c}
\tan{\alpha_c}=\frac{a}{2h}
\boxed{\alpha=\tan^{-1}{(\frac{a}{2h})}}
!Drawing 2025-10-02 12.14.37.excalidraw
Les translations bloquées génèrent des forces, les rotations bloquées génèrent des moments.
\overrightarrow{p}=mg\overrightarrow{x_0}
\overrightarrow{R_x}=R_x\overrightarrow{x_0}
\overrightarrow{R_y}=R_y\overrightarrow{y_0}
Torseur statique \rightarrow _G\cases{mg\overrightarrow{x_0}\\\overrightarrow{0}}+_{O_0}\cases{R_x\overrightarrow{x_0}+R_y\overrightarrow{y_0}\\\overrightarrow{0}}
---
title: Hope over time
xLabel: Time (days)
yLabel: Hope (percentage)
bounds: [0,30,0,1]
disableZoom: true
grid: true
---
hope(x)=0.85(1-x/30)^0.1
---
title: Understanting over time
xLabel: Time (days)
yLabel: Understanting (percentage)
bounds: [0,30,-5,1]
disableZoom: true
grid: true
---
hope(x)=0.65(1-(x/26)^100)