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![[CI-SST81E6_TD2.pdf]]
# Exercice 1:
$A=\pmatrix{-1&0&1\\1&0&-1\\0&0&0}$
## 1) 
$X_A(x)=\det{(x\times I - A)}=\matrix{+\\-\\+}\begin{vmatrix}x+1&0&-1\\-1&x&1\\0&0&x\end{vmatrix}=x^3+x^x=x^2(x+1)$   

## 2)
On veut calculer $A\times (A+I)$
$A+I=\pmatrix{0&0&1\\1&1&-1\\0&0&1}$ 
$A\times (A+I)=\pmatrix{0&0&1\\1&1&-1\\0&0&1}\pmatrix{-1&0&1\\1&0&-1\\0&0&0}=\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\0&0&0}$
$p:x\rightarrow x(x+1)$.
$p$ est le polynome minimal de $A$.

## 3)
Pour toute valeur propre $\lambda_i$, on associe un espace propre $E_i$ et un projecteur $P_i$.

$\color{red}\boxed{\color{white}\forall n \in\mathbb{N},\, \sum_i\lambda_i^nP_i=A^n}$ 
$\forall n\in\mathbb{N},\, O^nP_1+(-1)^nP_0=A^n$.
Si $n=0$, $P_0+P_1=I$
Si $n=1$, $-P_0=A$ 

On a notre système a deux inconnues: $\cases{P_0+P_1=I \\ -P_0=A}\implies\cases{P_0=-A \\ P_1=I-P_0=A+I}$
$A^n=(-1P_0+0P_1)^n=\sum_{k=0}^n\pmatrix{n\\k}(-P_0)^k(0P_1)^{n-k}$
$A^n=(-1P_0)^n+(0P_1)^n$
$A^n=\cases{I\text{   si } n=0 \\ (-1)^nP_0=(-1)^{n+1}A\text{   si }n>0}$ 


## 4)
Soit $t\in\mathbb{R}$
$e^{tA}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(tA)^k}{k!}$ 
$=\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{t^k}{k!}(-1)^{k+1})A+I$
$=-A(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-t)^k}{k!}-1)+I$ 
$=-Ae^{-t}+A+I$
$=P_0e^{\lambda_0t}+P_1e^{\lambda_1t}$ 

$P_0=-A=\pmatrix{1&0&-1\\-1&0&1\\0&0&0}$
$P_1=A+I=\pmatrix{0&0&1\\1&1&-1\\0&0&1}$
Vecteur propre dans $P_0$: $\pmatrix{1\\-1\\0}$
Vecteurs propres dans $P_1$: $\pmatrix{0\\1\\0} \text{ et } \pmatrix{1\\-1\\1}$

# Exercice 2:
## 1.
$B=\pmatrix{a&b&c\\a&b&c\\a&b&c}\,(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$.

$\mathcal{X}_B(x)=\det{(xI-B)}=\begin{vmatrix}x-a&-b&-c\\-a&x-b&-c\\-a&-b&x-c\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}x-(a+b+c)&-b&-c\\x-(a+b+c)&x-b&-c\\x-(a+b+c)&-b&x-c\end{vmatrix}$ 

$\mathcal{X}_B(x)=(x-(a+b+c))\begin{vmatrix}1&-b&-c\\1&x-b&-c\\1&-b&x-c\end{vmatrix}\matrix{\\L_2-L_1\\L_3-L_1}$

$\mathcal{X}_B(x)=(x-(a+b+c))\begin{vmatrix}1&-b&-c\\0&x&0\\0&0&x\end{vmatrix}=x^2(x-(a+b+c))$ 

On pose $p:x\rightarrow x(x-(a+b+c))$
- [x] Divise $\mathcal{X}_B$
- [x] Mêmes racines que $\mathcal{X}_B$
- [x] Unitaire
- [x] De + bas degré possible

$p(B)=B(B-(a+b+c)I)$
$p(B)=\pmatrix{a&b&c\\a&b&c\\a&b&c}\pmatrix{-(b+c)&b&c\\a&-(a+c)&c\\a&b&-(a+b)}=0$
 
$p$ est le polynome minimal de $B$.
$S_p(B)=\{0,a+b+c\}$.
$p$ est scindé à racines simples si $a+b+c≠0$

La matrice $B$ est donc diagonalisable $\forall(a,b,c)\in\mathbb{R}^3$ tel que $a+b+c≠0$ 

## 2.
Soit $\lambda_0=0$ et $\lambda_1=a+b+c$.
$\cases{\lambda_0;E_0;P_0\\\lambda_1;E_1;P_1}$
$\forall n\in\mathbb{N},\,\lambda_0^nP_0+\lambda_1^nP_1=B^n$

$\cases{P_0+P_1=I\\(a+b+c)P_1=B}\implies\cases{P_1=\frac{1}{a+b+c}B\\P_0=I-\frac{1}{a+b+c}B=\frac{-1}{a+b+c}(B-(a+b+c)I)}$

$B^n=\cases{I \text{ si }n=0\\(a+b+c)^nP_1=(a+b+c)^{n-1}B \text{ si }n>0}$

$e^{tB}=e^{0t}P_0+e^{(a+b+c)t}P_1$.

Vecteurs propres de l'espace $E_0$: $\pmatrix{-(b+c)\\a\\a}$ et $\pmatrix{b\\-(a+c)\\b}$
Vecteur propre de l'espace $E_1$: $\pmatrix{a\\a\\a}$

# Exercice 3:

$C=\pmatrix{3&1&0&1\\1&3&0&1\\0&0&4&0\\0&0&0&2}$

$\mathcal{X}_C(x)=\begin{vmatrix}x-3&-1&0&-1\\-1&x-3&0&-1\\0&0&x-4&0\\0&0&0&x-2\end{vmatrix}=(x-2)(x-4)((x-3)^2-1)=(x-2)^2(x-4)^2$ 

On pose $p: x\rightarrow(x-2)(x-4)$
- [x] Divise $\mathcal{X}_B$
- [x] Mêmes racines que $\mathcal{X}_B$
- [x] Unitaire
- [x] De + bas degré possible

$p(C)=(C-2I)(C-4I)=0_4$.

$p$ est le polynome minimal de $C$, il est scindé et à racines simples. Donc, $C$ est diagonalisable.

$S_p(C)=\{2,4\}$.

$\forall n\in\mathbb{N},\,\lambda_0^nP_0+\lambda_1^nP_1=C^n$
$\cases{P_0+P_1=I\\2P_0+4P_1=C}\implies\cases{P_0=I-P_1\\2I-2P_1=C}$
$P_1=\frac{C-2I}{2}$
$P_0=I-\frac{C-2I}{2}=-\frac{1}{2}(C-4I)$.

$C^n=2^nP_0+4^nP_1$

$e^{tC}=e^{2t}P_0+e^{4t}P_1$