estia-1a/GénieÉlectrique/TD1/Index.md

![[TD_FGE_2025.pdf]]

# Exercise 1.
a. 
$\frac{1}{R_{eq}}=\sum{\frac{1}{R_i}} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ 
$R_1=R_2 \implies R_{eq}=\frac{R^2}{2R}$ 

b.
$\frac{1}{R_{eq}}=\sum{\frac{1}{R_i}} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$ 
$\implies R_{eq}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ 

c.
$R_{eq}=0$ 

d.
$\frac{1}{R_{eq}}=\sum{\frac{1}{R_i}} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}$ 
$=\frac{R_1R_2R_3}{R_1+R_2+R_3}, R_1=R_2=R_3 \implies R_{eq}=\frac{R^3}{3R}$ 
$R_1=R_2=R3, R_{eq}=\frac{R}{3}$

e.
En série, $R_{eq}=R_1+R_2$ 

f.
$\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{2R}+\frac{1}{R}+\frac{1}{2R}=\frac{5}{2R}$
$R_{eq}=\frac{2R}{5}$


g.
$R_{brancheDroite}=2R$
$\frac{1}{R_{rectangle}}=\frac{1}{2R}+\frac{1}{2R}=\frac{2}{2R}=\frac{1}{R}$
$\implies R_{rectangle}=R$
$R_{eq}=R+R=2R$

h.
$R_{eq}=R$ -> Court circuit entre les autres résistances.

e.
$R_{eq}=800+\frac{1}{\frac{1}{3k\Omega}+\frac{1}{2k\Omega}}=2k\Omega$

# Exercise 2.
Loi des noeuds en $A$:
$i_1+i_2=i_3$
Loi des mailles en $m_1$ et $m_2$:
$E_1=U_{R_1}+U_{R_3}$
$E_2=U_{R_2}+U_{R_3}$

Loi d'Ohm:
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
E_1=i_1R_1+i_3R_3\\ 
E_2=i_2R_2+i_3R_3
\end{cases}
\end{equation}
$$
$$
\begin{equation}
\begin{cases}
i_3=i_1+i_2 \\
i_1=\frac{E_1-i_2R_3}{R_1+R_3} \\
E_2=i_2R_2+i_1R_3+(\frac{E_1-i_2R_3}{R_1+R_3})R_3
\end{cases}
\end{equation}
$$
$E_2=\frac{E_1R_3}{R_1+R_3}+i_2(R_2+R_3-\frac{R_3^2}{R_1+R_3})$
$\implies i_2=(E_2-\frac{E_1R_3}{R_1+R_3})\times \frac{R_1+R_3}{R_2(R_1+R_3)+R_3(R_1+R_3)-R_3^2}$
$i_2=\frac{E_2(R_1R_3)-E_1R_3}{R_1R_2+R_1R_3+R_2R_3}$
# Exercise 3.
1. $V=V_1+V_2$
   $V=R_1i+R_2i$
   $i=V\times\frac{1}{R_1+R_2}\implies V_1=\frac{V\times R_1}{R_1+R_2}$
2. $V_1=\frac{V\times R_1}{R_1+(R_2+R_3)}$
3. $\frac{1}{R_{eq}}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}$
   $R_{eq}=\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}$
   $V_3=\frac{R_{eq}}{R_1+R_{eq}}V$
# Exercise 4.
1. $i=i_1+i_2\implies i=V(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2})\implies V=i\times\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
   $i_1=\frac{V}{R_1}=i\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\times\frac{1}{R_1}$
   $i_1=\frac{R_2}{R_1+R_2}i$
2. $i_1=\frac{R_{eq}}{R_1+R_{eq}}i$
   $R_{eq}=\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}$
   $i_1=\frac{\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}}{R_1+\frac{R_2R_3}{R_2+R_3}}i$
3. $i_3=\frac{R_2}{R_2+R_3}$

# Exercice 5

![[Pasted image 20250924163225.png]]

![[Pasted image 20250924163232.png]]
$i_2a=\frac{E_2}{R_{eq}}$
$R_{eq}=4R$
$i_2a=\frac{E_2}{4R}$
Par diviseur de courant, $i_1a=\frac{-2R}{2R+2R}i_2a$


![[Pasted image 20250924163239.png]]