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Formules
Pour les expressions de la forme ay'+by=0
ay'=-by
\frac{y'}{y}=\frac{-b}{a}
ln|y|=\int\frac{-b}{a}+c
e^{ln|y|}=e^{\int\frac{-b}{a}+c}
|y|=e^{\int\frac{-b}{a}+c}
|y|=\pm e^c+e^{\int\frac{-b}{a}}
|y|=Ke^{\int\frac{-b}{a}}
Pour les expressions de la forme ay'+by=c
y=y_p+y_h avec y_h solution de ay'+by=0
Méthode générale MVC: Méthode de variation de la constante
y_h=Ke^{-\int\frac{b}{a}}
y_p=K(x)e^{-\int\frac{b}{a}}
ay'_p+by_p=a(K'e^{-\int\frac{b}{a}}+K(\frac{-b}{a})e^{-\int\frac{b}{a}})+bKe^{-\int\frac{b}{a}}
K=\int\frac{c}{a}e^{\int\frac{b}{a}}
Pour les expressions d'ordre 2, de la forme ay''+by'+cy=d
a,b,c\in\mathbb{R}; d est une fonction
y_h: Solution de ay''+by'+cy=0
Équation caractéristique: ax^2+bx+c=0
Si \Delta>0: 2 racines réelles r_1,r_2. -> y_h=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}
Si \Delta = 0: 1 racine réelle r. -> y_h=(Ax+B)e^{rx}
Si \Delta < 0: 2 racines complexes conjuguées a\pm ib -> y_h=e^{ax}(A\cos{(bx)}+B\sin{(bx)})
y_p: On cherche y_p sous une forme similaire à celle de d.
Recette n°1: Si d est un polynome, y_p est un polynome de même degré
Exemple: y''+y=x^2+3
y_p=ax^2+bx+c
y_p''+y_p=2a+ax^2+bx+c=x^2+3+0x
\begin{cases}a=1\\b=0\\2a+c=3\implies c=1\end{cases}
Recette n°2: d=a\cos{(\alpha x)}+b\sin{(\alpha x)} \implies y_p=A\cos{(\alpha x)}+B\sin{(\alpha x)}
Exemple: y''+y+y=\sin{(2x)}
y_p=A\cos{(2x)}+B\sin{(2x)}
y_p''+y_p'+y_p=-4y_p+y_p'+y_p
=-3y_p+y_p'=3A\cos{(2x)}-3B\sin{(2x)}-2A\sin{(2x)}+2B\cos{(2x)}
=(-3A+2B)\cos{(2x)}+(-3B+2A)\sin{(2x)}=\sin{(2x)}
\cases{-3A+2B=0\\-3B+2A=1}
Recette n°3: d(x)=P(x)e^{\alpha x}\implies y_p=Q(x)e^{\alpha x}
Avec d°Q=d°P si \alpha n'est pas solution de l'équation caractéristique.
Sinon, d°Q=d°P+1 si \alpha est solution.
Sinon, d°Q=d°P+2 si \alpha est solution double (\Delta=0).
Exemple: y''-y'-2y=te^t
\alpha=1; Éq caractéristique: x^2-x-2=0.
\alpha n'est pas solution de l'éq caractéristique.
y_p=(at+b)e^t
y_p'=ae^{t}+(at+b)e^t=(at+b+a)e^t
y_p''=(at+b+2a)e^t
y_p''-y_p'-2y_p=((at+b+2a)e^t)-(ae^{t}+(at+b)e^t=(at+b+a)e^t)-2((at+b)e^t)
y_p''-y_p'-2y_p=(-2at-2b+a)e^t=te^t
-2at-2b+a=t
\cases{-2a=1\implies a=-\frac{1}{2} \\ a-2b=0\implies 2b=-\frac{1}{2}\implies b=\frac{1}{4}}
y_p=(-\frac{1}{2}t-\frac{1}{4})e^t
y_h: x^2-x-2=0
\Delta=1+8=9
x=\frac{1\pm3}{2}=\cases{2\\-1}
y_h=Ae^{r_1t}+Be^{r_2t}=Ae^{2t}+Be^{-t}
y=y_h+y_p=Ae^{2t}+Be^{-t}+(-\frac{1}{2}t-\frac{1}{4})e^t
\cases{A+B=2\\2A-B=1}
3A=3\implies A=1 \implies B=1
Exercices
Exercice 1:
(1+t^2)y'(t)+4ty(t)=0
a=1+t^2
b=4t
y=Ke^{-\int\frac{b}{a}}=Ke^{-\int\frac{4t}{1+t^2}}=Ke^{-2\int\frac{2t}{1+t^2}}
y=Ke^{-2ln(1+t^2)}=\boxed{\frac{K}{(1+t^2)^2}}
Exercice 2:
t^2y'(t)+y(t)=0
a=t^2
b=1
y=Ke^{-\int\frac{b}{a}}=Ke^{-\int\frac{1}{t^2}}=\boxed{Ke^{\frac{1}{t}}}
Exercice 3:
y'(t)+2ty(t)=e^{t-t^2}
y_h=Ke^{-\int\frac{b}{a}}=Ke^{-\int2t}=\boxed{Ke^{-t^2}}
y_p=K(t)e^{-t^2}
K=\int\frac{c}{a}e^{\int\frac{b}{a}}=\int\frac{c}{a}e^{t2}=\int\frac{e^{t-t^2}}{1}e^{t2}=\int e^t=\boxed{e^t}
y_p=e^te^{-t^2}=\boxed{e^{t-t^2}}
y=y_p+y_h=\boxed{e^{t-t^2}+Ke^{-t^2}}
Exercice 4:
\begin{cases}y'(t)-2y(t)=te^t \\ y(0)=4\end{cases}
y_h=Ke^{-\int\frac{b}{a}}=Ke^{-\int\frac{2}{1}}=\boxed{Ke^{2t}}
y_p=K(t)e^{2t}
K(t)=\int\frac{c}{a}e^{\int\frac{b}{a}}=\int\frac{te^t}{1}e^{-2t}=\int te^{-t}
=[-e^{-t}t]-\int-e^{-t}1
=[-te^{-t}-e^{-t}]
K(t)=(-1-t)e^{-t}
y_p=(-1-t)e^{-t}e^{2t}
y_p=\boxed{(-1-t)e^t}
y=y_p+y_h=(-1-t)e^t+Ke^{2t}
Avec y(0)=4=-1+K, donc K=5
\boxed{y=(-1-t)e^t+5e^{2t}}
Exercice 5:
Voir exemple de recette 3 dans ## Pour les expressions d'ordre 2, de la forme ay''+by'+cy=d.
Exercice 6:
\cases{y''(t)+y(t)=0 \\ y(0)=1 \\ y'(0)=0}
y=y_h
Équation caractéristique: x^2+1=0.
\Delta=b^2-4ac=0-4<0
x=\frac{-b\pm\sqrt{-\Delta}}{2a}=\frac{0\pm i\sqrt{4}}{2}=\pm i
y_h=e^{ax}(A\cos{(bx)}+B\sin{(bx)})=e^0(A\cos{x}+B\sin{x})
y=A\cos{x}+B\sin{x}
y(0)=A+0=1\implies A=1
y'=-A\sin{x}+B\cos{x}
y'(0)=B=0\implies B=0
\boxed{y=\cos{x}}
Exercice 8:
\cases{x'(t)=y(t)+2\\y'(t)=x(t)+z(t)+e^t\\z'(t)=x(t)+y(t)+z(t)}
\begin{pmatrix}
x \ y \ z
\end{pmatrix}'
= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 1 \
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x \ y \ z\end{pmatrix}
- \begin{pmatrix}2 \ e^t \ 0\end{pmatrix}
X_A(x)=\begin{vmatrix} -X & 1 & 0 \ 1 & -X & 1 \ 1 & 1 & 1-X \end{vmatrix}
Déterminant d'une matrice carrée:
\begin{vmatrix}a&b\\c&c\end{vmatrix}=ab-cd
\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}=aei+bfg+cdh-(gec+hfa+idb)
\begin{vmatrix}2&2&3\\0&1&0\\7&7&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&2&3\\-1&1&0\\0&7&0\end{vmatrix}=0+0-21-0=-21
Développement / à C3:
det\,A=(-1)^{1+3}\times3\times\begin{vsmallmatrix}0&1\\7&7\end{vsmallmatrix}+(-1)^{2+3}\times0\times\begin{vsmallmatrix}2&2\\7&7\end{vsmallmatrix}+(-1)^{3+5}\times0\times\begin{vsmallmatrix}2&2\\0&1\end{vsmallmatrix}
C_i\leftarrow C_i+\sum{\alpha_jC_j}
X'=AX+B
X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \ y \ z
\end{pmatrix}'
= \begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \
1 & 0 & 1 \
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x \ y \ z\end{pmatrix}
- \begin{pmatrix}2 \ e^t \ 0\end{pmatrix}
A=PDP^{-1} \rightarrowDiagonale
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