2.2 KiB
Exercise 1. Composed Transfer Function
!
!
Étude asymptotique de \underline{G}=1+j\tau_i\omega:
G_{dB}=||20log(\underline{G})||=20log(\sqrt{1^2+\tau^2\omega^2})
\phi=arg(\underline{G})=\arctan(\frac{\tau\omega}{1})
Étude en basses fréquences:
Pour \omega\rightarrow∞:
G_{dB}\approx20log(1)=0
\phi\approx\arctan{(0)}=0
Étude en hautes fréquences:
Pour \omega>>1
G_{dB}\approx20log(\tau\omega)=20log(\tau)+20log(\omega)
\phi\approx\arctan{(∞)}=\frac{\pi}{2}
On cherche le croisement des deux asymptotes.
On cherche donc 20log(\tau\omega)=0, ce qui implique que \tau\omega=1 et par conséquent que \omega=\frac{1}{\tau}.
Alors, G_{dB}(\frac{1}{\tau})20log(\sqrt{2})\approx3
\phi(\frac{1}{\tau})=\arctan{(1)}=\frac{\pi}{4}
!Drawing 2025-10-09 09.27.54.excalidraw
G_2=\frac{1}{G}, donc
G_{dB_2}=20log(1)-20log(|\underline{G}|)=-G_{dB}
\phi_2=-\phi
!Drawing 2025-10-09 09.53.13.excalidraw
G_{tot}=\frac{(1+j\tau_1\omega)(1+j\tau_2\omega)}{(1+j\tau_3\omega)(1+j\tau_4\omega)}=\frac{G_1G_2}{G_3G_4}
Exercise 2: .Bandpass filter 2nd order
!
!
On cherche \underline{V_S}.
Z_{eq} correspond à L et C, donc \frac{1}{Z_{eq}}=\frac{1}{Z_L}+\frac{1}{Z_C}=jC\omega-j\frac{1}{L\omega}
Par le pont diviseur, \underline{V_S}=\frac{Z_{eq}}{R+Z_{eq}}V_e=\frac{1}{\frac{R}{Z_{eq}+1}}V_e
\implies H=\frac{V_S}{V_e}=\frac{1}{1+jR(C\omega-\frac{1}{L\omega})}
Je cherche \alpha et \beta tel que C\omega-\frac{1}{L\omega}=\alpha(\frac{\omega}{\beta}-\frac{\beta}{\omega})
\frac{\alpha}{\beta}=C et \alpha\beta=\frac{1}{L}\implies\begin{cases} \alpha=\beta C\implies\alpha=C\sqrt{\frac{1}{LC}}=\sqrt{\frac{C}{L}} \\ \beta^2C=\frac{1}{L}\implies\beta=\sqrt{\frac{1}{LC}} \end{cases}
Donc H(j\omega)=\frac{1}{1+jR\sqrt{\frac{C}{L}}(\frac{\omega}{\sqrt{\frac{1}{LC}}}-\frac{\sqrt{\frac{1}{LC}}}{\omega})}
Exercise 3:
!
Part I: Impedance analyses
Z_{eq}=\frac{RjL\omega}{R+jL\omega}+\frac{\frac{R}{jC\omega}}{R+\frac{1}{jC\omega}}=
!