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Exercice 1:
1. En utilisant l’algorithme d’Euclide étendu, montrez que 169 et 45 sont premiers entre eux et trouvez deux entiers relatifs u et v tels que 169u+ 45v = 1
169=45\times3+34
45=34\times1+11
34=11\times3+1
11=1\times11+0
Le PGDC est égal à 1, donc 169 et 45 sont premiers entre eux.
Trouvons u et v. Formule: \boxed{u_{k}=u_{k-2}-u_{k-1}\times q_{k}} et \boxed{v_{k}=v_{k-2}-v_{k-1}\times q_{k}}
u_k |
v_k |
|
|---|---|---|
| 1 | 0 | |
| 0 | 1 | |
169=45\times3+34 |
1 | -3 |
45=34\times1+11 |
-1 | 4 |
34=11\times3+1 |
4 | -15 |
11=1\times11+0 |
////////// | ////////// |
Bilan: \boxed{au+bv=PGDC(a,b)}
Donc, 169\times4+45\times(-15)=1
2. Retrouvez le fait que 169 et 45 sont premiers entre eux en utilisant les décompositions en produit de facteurs premiers de 169 et 45.
169=1\times13^2
45=1\times3^2\times5
Le seul diviseur commun est 1.
3. Déterminez l’ensemble des couples (x;y) d’entiers relatifs vérifiant les deux conditions suivantes: (x,y)\in\mathbb{Z}^2,\cases{169x+45y=1 \\ x\in [100,200]\Leftrightarrow x\in\mathbb{Z} \text{ et } 100≤x≤200}
Solution particulière: x_{p}=4 et y_{p}=-15
(H)=169x+45y=0
Si x=45 et y=-169, ça marche.
Solution homogène: \cases{x=45k \\ y=-169k}\forall k\in\mathbb{Z}
Solution générale: \cases{x=45k+4 \\ y=-169k-15}\forall k\in\mathbb{Z}
Contrainte: 100≤45k+4≤200 \rightarrow96≤45k≤196\rightarrow\frac{96}{45}≤k≤\frac{196}{45}\rightarrow\approx2.≤k≤\approx4.
Avec k=3: x=45\times3+4=139 et y-522
Avec k=4: x=184 et y-691
4. Inverse de \cases{\overline{34}=\overline{169} \text{ dans }\mathbb{Z}/45\mathbb{Z} \\ \overline{45} \text{ dans }\mathbb{Z}/169\mathbb{Z}}
a\in(\mathbb{E},+_{\mathbb{E}},\times_{\mathbb{E}}), \exists a^{-1}\in\mathbb{E} tel que a\times a^{-1}=1_{\mathbb{E}}
On cherche u\in\mathbb{Z}/45\mathbb{Z} tel que \overline{34}\times u=\overline{1}\Leftrightarrow\overline{169}\times u=\overline{1}
On a vue que 169\times4+45\times(-15)=1, mais dans \mathbb{Z}/45\mathbb{Z}, 45\times(-15)=0
Donc \overline{169}\times\overline{4}=\overline{1}.
L'inverse de \overline{34}, c'est-à-dire l'inverse de \overline{169} dans \mathbb{Z}/45\mathbb{Z} est 4. \overline{34}^{-1}=\overline{4}
On cherche v\in\mathbb{Z}/169\mathbb{Z} tel que \overline{45}\times v=\overline{1}.
On a vu que 169\times4+45\times(-15)=1, mais dans \mathbb{Z}/169\mathbb{Z}, 169\times4=0
Donc \overline{45}\times(\overline{-15})=\overline{1}.
L'inverse de \overline{45} dans \mathbb{Z}/169\mathbb{Z} est \overline{-15} soit \overline{154}.
5. \cases{\mathbb{A}=\mathbb{M}_2(\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}) \\ U=\pmatrix{\overline{9}&\overline{2} \\ \overline{1}&\overline{4}}}
\det{U}=\overline{9}\times\overline{4}-\overline{1}\times\overline{2}=\overline{34}
\boxed{\forall A\in M_n(\mathbb{R}): \exists A^{-1}\text{ si }\det{A}≠0}
\boxed{\forall A\in M_n(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}): \exists A^{-1}\text{ si }\exists\det{A}^{-1}}
On a \overline{34}^{-1}=\overline{4} donc \exists U^{-1}
U^{-1}=\overline{4}\pmatrix{\overline{4}&\overline{-2} \\ \overline{-1}&\overline{9}}=\pmatrix{\overline{16}&\overline{-8} \\ \overline{-4}&\overline{36}}=\pmatrix{\overline{16}&\overline{37} \\ \overline{41}&\overline{36}}
6. Trouver (x,y)\in(\mathbb{Z}/45\mathbb{Z})^2 tel que \cases{\overline{9}x+\overline{2}y=\overline{1} \\ x + \overline{4}y=\overline{2}}
\Leftrightarrow U\times\pmatrix{x\\y}=\pmatrix{\overline{1}\\\overline{2}}
\Leftrightarrow\pmatrix{x\\y}=U^{-1}\times\pmatrix{\overline{1}\\\overline{2}}=\pmatrix{\overline{0}\\\overline{68}}=\pmatrix{\overline{0}\\\overline{23}}
car \exists U^{-1}
x=\overline{0} et y=\overline{23}.
Exercice 3:
1. + et \times de \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}
+ |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
|---|---|---|---|---|---|
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
\overline{1} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
\overline{0} |
\overline{2} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{3} |
\overline{3} |
\overline{4} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{4} |
\overline{4} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\times |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
|---|---|---|---|---|---|
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
\overline{2} |
\overline{0} |
\overline{2} |
\overline{4} |
\overline{1} |
\overline{3} |
\overline{3} |
\overline{0} |
\overline{3} |
\overline{1} |
\overline{4} |
\overline{2} |
\overline{4} |
\overline{0} |
\overline{4} |
\overline{3} |
\overline{2} |
\overline{1} |
2. x\in\cases{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}} tel que x^2+\overline{1}=\overline{0}
Pour \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}:
x |
\overline{0} |
\overline{1} |
|---|---|---|
x^2+\overline{1} |
\overline{1} |
\overline{0} |
S_2=\{\overline{1}\} |
Pour \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:
x |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
|---|---|---|---|
x^2+\overline{1} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{2} |
S_3=\varnothing |
Pour \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}:
x |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
|---|---|---|---|---|---|
x^2+\overline{1} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{2} |
S_5=\{\overline{2},\overline{3}\} |
Exercice 2:
On cherche x\in[0,100] tel que \cases{x\equiv1[3] \\ x\equiv2[5] \\ x\equiv-1[7]}
3, 5 et 7 sont premiers et différents, donc premiers entre eux, donc d'après le théorème Chinois, il existe des solutions.
Première étape
En prenant \cases{x\equiv1[3] \\ x\equiv2[5]},
\exists k_1\in\mathbb{Z} tel que x=1+3k_1
\exists k_2\in\mathbb{Z} tel que x=2+5k_2
1+3k_1=2+5k_2
3k_1-5k_2=1
Solution évidente: on peut prendre k_1=2 et k_2=1.
x_p=1+2\times3=2+5=7.
Solution générale: x=7+15k\,\forall k\in\mathbb{Z}.
Deuxième étape
\exists k_3 \in\mathbb{Z} tel que x=-1+7k_3
-1+7k_3=7+15k
7k_3-15k=8
Solution évidente: on peut prendre k_3=-1 et k=1.
x_p=-1+7\times(-1)=-8.
x_h=3\times5\times7\times n \,\forall n \in \mathbb{Z}
Solution générale: x=x_p+x_h=-8+3\times5\times7\times n \,\forall n\in\mathbb{Z}.
x=-8+105n.
Or x\in[0,100], donc 0≤-8+105n≤100\implies n=1 \implies x=97.
Exercice 5:
q\in E=\mathbb{R}[x] tel que \cases{q\equiv-1[x^2+1] \\ q\equiv-x[x-1] \\ q\equiv1\,[x^2-x+1]}
Calculer les racines des moduli polynomiaux, si pas de racines en commun ils sont premiers entre eux:
La racine de x^2+1 est \pm i
La racine de x-1 est 1
La racine de x^2-x+1 est différente de \{\pm i, 1\}.
Les 3 moduli ont des racines différentes, donc ils sont premiers entre eux.
\cases{q\equiv-1[x^2+1] \\ q\equiv-x[x-1]}\implies\matrix{q=-1+k_1(x^2+1) \\ q=-x+k_2(x-1)}\,k_1,k_2\in\mathbb{R}[x]
\implies-1+k_1(x^2+1)=-x+k^2(x-1)
\implies k_1(x^2+1)-k_2(x-1)=-x+1
x^2+1=(x-1)(x+1)+2.
x-1=2(\frac{x-1}{2})+0
| eq | u |
v |
|---|---|---|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
x^2+1=(x-1)(x+1)+2 |
1 |
-(x+1) |
au+bv=r |
||
[(x^2+1)-(x-1)(+x+1)=2]\times\frac{1}{2}\times(-x+1) |
||
(x^2+1)(-\frac{x+1}{2})-(x-1)((x+1)(-\frac{-x+1}{2}))=-x+1 |
||
On a donc k_1=-\frac{-x+1}{2} et k_2=(x+1)(-\frac{-x+1}{2}). |
q_p=-1+(x^2+1)(\frac{-x+1}{2})=+\frac{1}{2}(-x^3+x^2-x-1)
q_h=(x^2+1)(x-1)k\,\forall k\in\mathbb{R}[x].
q=q_p+q_h=-\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}+k(x^3-x^2+x-1)
\cases{q\equiv\frac{1}{2}(-x^3+x^2-x-1)[x^3-x^2+x-1] \\ q\equiv1[x^2-x+1]}
\exists k_3\in\mathbb{R}[x] tel que q=1+k_3(x^2-x+1).
k_3(x^2-x+1)-k(x^3-x^2+x-1)=\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{3}{2}.
Euclide:
| eq | u |
v |
|---|---|---|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
|
x^3-x^2+x-1=(x^2-x+1)x-1 |
1 | -x |
au+bv=r avec r dernier reste non nul
[-(x^3-x^2+x-1)\times1+(x^2-x+1)\times(-x)=-1]\times(-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{3}{2})
(x^3-x^2+x-1)(-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{3}{2})+(x^2-x+1)(-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}-\frac{3x}{2})=(-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{3}{2}) On a donc k=-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{2}-\frac{x}{2}-\frac{3}{2} et k_3=-\frac{x^4}{2}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{2}-\frac{3x}{2}.
q_p=-\frac{x^6}{2}+x^5-\frac{3x^4}{2}-\frac{x^3}{2}+x^2-\frac{3x}{2}+1
q_G=q_p+p(x^2+1)(x-1)(x^2-x+1)\,\forall p\in\mathbb{R}[x].
Exercice 6:
R(x)=\frac{7x^2-42x-26}{7x^3+7x^2}
En factorisant le dénominateur:
R(x)=\frac{7x^3-42x-26}{7x^2(x+1)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x}
Pour a, on multiplie tout par x+1:
R_1(x)=\frac{7x^3-42x-26}{7x^2}=a+(\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x})(x+1)
Et on évalue en x=-1\implies a=\frac{23}{7}
Pour b, on multiplie tout par x^2:
R_2(x)=\frac{7x^3-42x-26}{7(x+1)}=b+(\frac{a}{x+1}+\frac{c}{x})(x^2)
Et on évalue en x=0\implies b=\frac{-26}{7}.
Pour c, on remplace a et b et on choisit un x qui nous arrange:
R_3(x)=\frac{7x^3-42x-26}{7x^2(x+1)}=\frac{\frac{23}{7}}{x+1}+\frac{\frac{-26}{7}}{x^2}+\frac{c}{x}
R_3(1)=\frac{7(1)^3-42(1)-26}{7(1)^2((1)+1)}=\frac{\frac{23}{7}}{(1)+1}+\frac{\frac{-26}{7}}{(1)^2}+\frac{c}{(1)}
R_3(1)=\frac{-61}{14}=\frac{23}{14}+\frac{-26}{7}+c
Et on évalue en x=1\implies c=\frac{3}{14}+\frac{7-42}{24}=\frac{-32}{24}=\frac{-16}{7}.