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# Formules
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## Pour les expressions de la forme $ay'+by=0$
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$ay'=-by$
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$\frac{y'}{y}=\frac{-b}{a}$
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$ln|y|=\int\frac{-b}{a}+c$
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$e^{ln|y|}=e^{\int\frac{-b}{a}+c}$
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$|y|=e^{\int\frac{-b}{a}+c}$
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$|y|=\pm e^c+e^{\int\frac{-b}{a}}$
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$|y|=Ke^{\int\frac{-b}{a}}$
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## Pour les expressions de la forme $ay'+by=c$
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$y=y_p+y_h$ avec $y_h$ solution de $ay'+by=0$
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Méthode générale MVC: Méthode de variation de la constante
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$y_h=Ke^{-\int\frac{b}{a}}$
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$y_p=K(x)e^{-\int\frac{b}{a}}$
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$ay'_p+by_p=a(K'e^{-\int\frac{b}{a}}+K(\frac{-b}{a})e^{-\int\frac{b}{a}})+bKe^{-\int\frac{b}{a}}$
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$K=\int\frac{c}{a}e^{\int\frac{b}{a}}$
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## Pour les expressions d'ordre 2, de la forme $ay''+by'+cy=d$
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$a,b,c\in\mathbb{R}$; $d$ est une fonction
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$y_h$: Solution de $ay''+by'+cy=0$
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Équation caractéristique: $ax^2+bx+c=0$
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Si $\Delta>0$: 2 racines réelles $r_1,r_2$. -> $y_h=Ae^{r_1x}+Be^{r_2x}$
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Si $\Delta = 0$: 1 racine réelle $r$. -> $y_h=(Ax+B)e^{rx}$
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Si $\Delta < 0$: 2 racines complexes conjuguées $a\pm ib$ -> $y_h=e^{ax}(A\cos{(bx)}+B\sin{(bx)})$
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$y_p$: On cherche $y_p$ sous une forme similaire à celle de $d$.
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Recette n°1: Si $d$ est un polynome, $y_p$ est un polynome de même degré
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Exemple: $y''+y=x^2+3$
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$y_p=ax^2+bx+c$
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$y_p''+y_p=2a+ax^2+bx+c=x^2+3+0x$
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$\begin{cases}a=1\\b=0\\2a+c=3\implies c=1\end{cases}$
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Recette n°2: $d=a\cos{(\alpha x)}+b\sin{(\alpha x)} \implies y_p=A\cos{(\alpha x)}+B\sin{(\alpha x)}$
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Exemple: $y''+y+y=\sin{(2x)}$
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$y_p=A\cos{(2x)}+B\sin{(2x)}$
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$y_p''+y_p'+y_p=-4y_p+y_p'+y_p$
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$=-3y_p+y_p'=3A\cos{(2x)}-3B\sin{(2x)}-2A\sin{(2x)}+2B\cos{(2x)}$
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$=(-3A+2B)\cos{(2x)}+(-3B+2A)\sin{(2x)}=\sin{(2x)}$
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$\cases{-3A+2B=0\\-3B+2A=1}$
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Recette n°3: $d(x)=P(x)e^{\alpha x}\implies y_p=Q(x)e^{\alpha x}$
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Avec $d°Q=d°P$ si $\alpha$ n'est pas solution de l'équation caractéristique.
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Sinon, $d°Q=d°P+1$ si $\alpha$ est solution.
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Sinon, $d°Q=d°P+2$ si $\alpha$ est solution double ($\Delta=0$).
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Exemple: $y''-y'-2y=te^t$
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$\alpha=1$; Éq caractéristique: $x^2-x-2=0$.
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$\alpha$ n'est pas solution de l'éq caractéristique.
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$y_p=(at+b)e^t$
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$y_p'=ae^{t}+(at+b)e^t=(at+b+a)e^t$
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$y_p''=(at+b+2a)e^t$
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$y_p''-y_p'-2y_p=((at+b+2a)e^t)-(ae^{t}+(at+b)e^t=(at+b+a)e^t)-2((at+b)e^t)$
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$y_p''-y_p'-2y_p=(-2at-2b+a)e^t=te^t$
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$-2at-2b+a=t$
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$\cases{-2a=1\implies a=-\frac{1}{2} \\ a-2b=0\implies 2b=-\frac{1}{2}\implies b=\frac{1}{4}}$
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$y_p=(-\frac{1}{2}t-\frac{1}{4})e^t$
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$y_h$: $x^2-x-2=0$
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$\Delta=1+8=9$
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$x=\frac{1\pm3}{2}=\cases{2\\-1}$
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$y_h=Ae^{r_1t}+Be^{r_2t}=Ae^{2t}+Be^{-t}$
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$y=y_h+y_p=Ae^{2t}+Be^{-t}+(-\frac{1}{2}t-\frac{1}{4})e^t$
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$\cases{A+B=2\\2A-B=1}$
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$3A=3\implies A=1 \implies B=1$
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# Exercices
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## Exercice 1:
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$(1+t^2)y'(t)+4ty(t)=0$
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$a=1+t^2$
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$b=4t$
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$y=Ke^{-\int\frac{b}{a}}=Ke^{-\int\frac{4t}{1+t^2}}=Ke^{-2\int\frac{2t}{1+t^2}}$
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$y=Ke^{-2ln(1+t^2)}=\boxed{\frac{K}{(1+t^2)^2}}$
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## Exercice 2:
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$t^2y'(t)+y(t)=0$
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$a=t^2$
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$b=1$
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$y=Ke^{-\int\frac{b}{a}}=Ke^{-\int\frac{1}{t^2}}=\boxed{Ke^{\frac{1}{t}}}$
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## Exercice 3:
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$y'(t)+2ty(t)=e^{t-t^2}$
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$y_h=Ke^{-\int\frac{b}{a}}=Ke^{-\int2t}=\boxed{Ke^{-t^2}}$
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$y_p=K(t)e^{-t^2}$
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$K=\int\frac{c}{a}e^{\int\frac{b}{a}}=\int\frac{c}{a}e^{t2}=\int\frac{e^{t-t^2}}{1}e^{t2}=\int e^t=\boxed{e^t}$
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$y_p=e^te^{-t^2}=\boxed{e^{t-t^2}}$
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$y=y_p+y_h=\boxed{e^{t-t^2}+Ke^{-t^2}}$
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## Exercice 4:
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$\begin{cases}y'(t)-2y(t)=te^t \\ y(0)=4\end{cases}$
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$y_h=Ke^{-\int\frac{b}{a}}=Ke^{-\int\frac{2}{1}}=\boxed{Ke^{2t}}$
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$y_p=K(t)e^{2t}$
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$K(t)=\int\frac{c}{a}e^{\int\frac{b}{a}}=\int\frac{te^t}{1}e^{-2t}=\int te^{-t}$
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$=[-e^{-t}t]-\int-e^{-t}1$
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$=[-te^{-t}-e^{-t}]$
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$K(t)=(-1-t)e^{-t}$
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$y_p=(-1-t)e^{-t}e^{2t}$
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$y_p=\boxed{(-1-t)e^t}$
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$y=y_p+y_h=(-1-t)e^t+Ke^{2t}$
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Avec $y(0)=4=-1+K$, donc $K=5$
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$\boxed{y=(-1-t)e^t+5e^{2t}}$
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## Exercice 5:
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Voir exemple de recette 3 dans ## Pour les expressions d'ordre 2, de la forme $ay''+by'+cy=d$.
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## Exercice 6:
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$\cases{y''(t)+y(t)=0 \\ y(0)=1 \\ y'(0)=0}$
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$y=y_h$
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Équation caractéristique: $x^2+1=0$.
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$\Delta=b^2-4ac=0-4<0$
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$x=\frac{-b\pm\sqrt{-\Delta}}{2a}=\frac{0\pm i\sqrt{4}}{2}=\pm i$
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$y_h=e^{ax}(A\cos{(bx)}+B\sin{(bx)})=e^0(A\cos{x}+B\sin{x})$
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$y=A\cos{x}+B\sin{x}$
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$y(0)=A+0=1\implies A=1$
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$y'=-A\sin{x}+B\cos{x}$
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$y'(0)=B=0\implies B=0$
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$\boxed{y=\cos{x}}$
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## Exercice 8:
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$\cases{x'(t)=y(t)+2\\y'(t)=x(t)+z(t)+e^t\\z'(t)=x(t)+y(t)+z(t)}$
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$$
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\begin{pmatrix}
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x \\ y \\ z
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\end{pmatrix}'
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= \begin{pmatrix}
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0 & 1 & 0 \\
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1 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 1
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\end{pmatrix}
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\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}
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+ \begin{pmatrix}2 \\ e^t \\ 0\end{pmatrix}
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$$
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$$
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X_A(x)=\begin{vmatrix}
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-X & 1 & 0 \\
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1 & -X & 1 \\
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1 & 1 & 1-X
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\end{vmatrix}
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$$
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<u>Déterminant d'une matrice carrée:</u>
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$\begin{vmatrix}a&b\\c&c\end{vmatrix}=ab-cd$
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$\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}\begin{matrix}a&b\\d&e\\g&h\end{matrix}=aei+bfg+cdh-(gec+hfa+idb)$
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$\begin{vmatrix}2&2&3\\0&1&0\\7&7&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&2&3\\-1&1&0\\0&7&0\end{vmatrix}=0+0-21-0=-21$
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Développement / à C3:
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$det\,A=(-1)^{1+3}\times3\times\begin{vsmallmatrix}0&1\\7&7\end{vsmallmatrix}+(-1)^{2+3}\times0\times\begin{vsmallmatrix}2&2\\7&7\end{vsmallmatrix}+(-1)^{3+5}\times0\times\begin{vsmallmatrix}2&2\\0&1\end{vsmallmatrix}$
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$C_i\leftarrow C_i+\sum{\alpha_jC_j}$
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$X'=AX+B$
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$X=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$
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$$
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\begin{pmatrix}
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x \\ y \\ z
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|
\end{pmatrix}'
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= \begin{pmatrix}
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0 & 1 & 0 \\
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1 & 0 & 1 \\
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1 & 1 & 1
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|
\end{pmatrix}
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\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}
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+ \begin{pmatrix}2 \\ e^t \\ 0\end{pmatrix}
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$$
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$A=PDP^{-1} \rightarrow$ Diagonale
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![[TD2.jpg]]
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