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Exercice 1:
1. En utilisant l’algorithme d’Euclide étendu, montrez que 169 et 45 sont premiers entre eux et trouvez deux entiers relatifs u et v tels que 169u+ 45v = 1
169=45\times3+34
45=34\times1+11
34=11\times3+1
11=1\times11+0
Le PGDC est égal à 1, donc 169 et 45 sont premiers entre eux.
Trouvons u et v. Formule: \boxed{u_{k}=u_{k-2}-u_{k-1}\times q_{k}} et \boxed{v_{k}=v_{k-2}-v_{k-1}\times q_{k}}
u_k |
v_k |
|
|---|---|---|
| 1 | 0 | |
| 0 | 1 | |
169=45\times3+34 |
1 | -3 |
45=34\times1+11 |
-1 | 4 |
34=11\times3+1 |
4 | -15 |
11=1\times11+0 |
////////// | ////////// |
Bilan: \boxed{au+bv=PGDC(a,b)}
Donc, 169\times4+45\times(-15)=1
2. Retrouvez le fait que 169 et 45 sont premiers entre eux en utilisant les décompositions en produit de facteurs premiers de 169 et 45.
169=1\times13^2
45=1\times3^2\times5
Le seul diviseur commun est 1.
3. Déterminez l’ensemble des couples (x;y) d’entiers relatifs vérifiant les deux conditions suivantes: (x,y)\in\mathbb{Z}^2,\cases{169x+45y=1 \\ x\in [100,200]\Leftrightarrow x\in\mathbb{Z} \text{ et } 100≤x≤200}
Solution particulière: x_{p}=4 et y_{p}=-15
(H)=169x+45y=0
Si x=45 et y=-169, ça marche.
Solution homogène: \cases{x=45k \\ y=-169k}\forall k\in\mathbb{Z}
Solution générale: \cases{x=45k+4 \\ y=-169k-15}\forall k\in\mathbb{Z}
Contrainte: 100≤45k+4≤200 \rightarrow96≤45k≤196\rightarrow\frac{96}{45}≤k≤\frac{196}{45}\rightarrow\approx2.≤k≤\approx4.
Avec k=3: x=45\times3+4=139 et y-522
Avec k=4: x=184 et y-691
4. Inverse de \cases{\overline{34}=\overline{169} \text{ dans }\mathbb{Z}/45\mathbb{Z} \\ \overline{45} \text{ dans }\mathbb{Z}/169\mathbb{Z}}
a\in(\mathbb{E},+_{\mathbb{E}},\times_{\mathbb{E}}), \exists a^{-1}\in\mathbb{E} tel que a\times a^{-1}=1_{\mathbb{E}}
On cherche u\in\mathbb{Z}/45\mathbb{Z} tel que \overline{34}\times u=\overline{1}\Leftrightarrow\overline{169}\times u=\overline{1}
On a vue que 169\times4+45\times(-15)=1, mais dans \mathbb{Z}/45\mathbb{Z}, 45\times(-15)=0
Donc \overline{169}\times\overline{4}=\overline{1}.
L'inverse de \overline{34}, c'est-à-dire l'inverse de \overline{169} dans \mathbb{Z}/45\mathbb{Z} est 4. \overline{34}^{-1}=\overline{4}
On cherche v\in\mathbb{Z}/169\mathbb{Z} tel que \overline{45}\times v=\overline{1}.
On a vu que 169\times4+45\times(-15)=1, mais dans \mathbb{Z}/169\mathbb{Z}, 169\times4=0
Donc \overline{45}\times(\overline{-15})=\overline{1}.
L'inverse de \overline{45} dans \mathbb{Z}/169\mathbb{Z} est \overline{-15} soit \overline{154}.
5. \cases{\mathbb{A}=\mathbb{M}_2(\mathbb{Z}/45\mathbb{Z}) \\ U=\pmatrix{\overline{9}&\overline{2} \\ \overline{1}&\overline{4}}}
\det{U}=\overline{9}\times\overline{4}-\overline{1}\times\overline{2}=\overline{34}
\boxed{\forall A\in M_n(\mathbb{R}): \exists A^{-1}\text{ si }\det{A}≠0}
\boxed{\forall A\in M_n(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}): \exists A^{-1}\text{ si }\exists\det{A}^{-1}}
On a \overline{34}^{-1}=\overline{4} donc \exists U^{-1}
U^{-1}=\overline{4}\pmatrix{\overline{4}&\overline{-2} \\ \overline{-1}&\overline{9}}=\pmatrix{\overline{16}&\overline{-8} \\ \overline{-4}&\overline{36}}=\pmatrix{\overline{16}&\overline{37} \\ \overline{41}&\overline{36}}
6. Trouver (x,y)\in(\mathbb{Z}/45\mathbb{Z})^2 tel que \cases{\overline{9}x+\overline{2}y=\overline{1} \\ x + \overline{4}y=\overline{2}}
\Leftrightarrow U\times\pmatrix{x\\y}=\pmatrix{\overline{1}\\\overline{2}}
\Leftrightarrow\pmatrix{x\\y}=U^{-1}\times\pmatrix{\overline{1}\\\overline{2}}=\pmatrix{\overline{0}\\\overline{68}}=\pmatrix{\overline{0}\\\overline{23}}
car \exists U^{-1}
x=\overline{0} et y=\overline{23}.
Exercice 3:
1. + et \times de \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}
+ |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
|---|---|---|---|---|---|
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
\overline{1} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
\overline{0} |
\overline{2} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{3} |
\overline{3} |
\overline{4} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{4} |
\overline{4} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\times |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
|---|---|---|---|---|---|
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
\overline{2} |
\overline{0} |
\overline{2} |
\overline{4} |
\overline{1} |
\overline{3} |
\overline{3} |
\overline{0} |
\overline{3} |
\overline{1} |
\overline{4} |
\overline{2} |
\overline{4} |
\overline{0} |
\overline{4} |
\overline{3} |
\overline{2} |
\overline{1} |
2. x\in\cases{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \\ \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}} tel que x^2+\overline{1}=\overline{0}
Pour \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}:
x |
\overline{0} |
\overline{1} |
|---|---|---|
x^2+\overline{1} |
\overline{1} |
\overline{0} |
S_2=\{\overline{1}\} |
Pour \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}:
x |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
|---|---|---|---|
x^2+\overline{1} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{2} |
S_3=\varnothing |
Pour \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}:
x |
\overline{0} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{3} |
\overline{4} |
|---|---|---|---|---|---|
x^2+\overline{1} |
\overline{1} |
\overline{2} |
\overline{0} |
\overline{0} |
\overline{2} |
S_5=\{\overline{2},\overline{3}\} |
Exercice 2:
On cherche x\in[0,100] tel que \cases{x\equiv1[3] \\ x\equiv2[5] \\ x\equiv-1[7]}
3, 5 et 7 sont premiers et différents, donc premiers entre eux, donc d'après le théorème Chinois, il existe des solutions.
En prenant \cases{x\equiv1[3] \\ x\equiv2[5]},
\exists k_1\in\mathbb{Z} tel que x=1+3k_1
\exists k_2\in\mathbb{Z} tel que x=2+5k_2
1+3k_1=2+5k_2
3k_1-5k_2=1
Solution évidente: on peut prendre k_1=2 et k_2=1.
x_p=1+2\times3=2+5=7.
Solution générale: x=7+15k\,\forall k\in\mathbb{Z}.