estia-1a/ModélisationEnMeca/⚙️ GUIDE GÉNÉRAL — MODÉLISATION DES MÉCANISMES.md

(Cinématique → Statique → Cinétique → Dynamique → Équilibre Dynamique)

I. CINÉMATIQUE

Repères et variables

Deux repères :

• R_0(O,\vec{x_0},\vec{y_0},\vec{z_0}) fixe et galiléen

• R_1(O,\vec{x_1},\vec{y_1},\vec{z_1}) lié au solide

Angle \theta en radians. Vitesse angulaire \dot{\theta} = \dfrac{d\theta}{dt} en rad s$^{-1}$. Accélération angulaire \ddot{\theta} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2} en rad s$^{-2}$.

Changement de base dans le plan x_0y_0

\begin{cases}
\vec{x_1} = \cos(\theta),\vec{x_0} + \sin(\theta),\vec{y_0} \
\vec{y_1} = -\sin(\theta),\vec{x_0} + \cos(\theta),\vec{y_0}
\end{cases}

Dérivation dans une base mobile (formule de Poisson)

Vecteur rotation

\vec{\Omega}{1/0} = \dot{\theta},\vec{z}

Formule

\left(\dfrac{d\vec{u}}{dt}\right){R_0} = \left(\dfrac{d\vec{u}}{dt}\right){R_1} + \vec{\Omega}{1/0} \wedge \vec{u}

Applications aux axes

\begin{cases}
\dfrac{d\vec{x_1}}{dt}\Big|_0 = \dot{\theta},\vec{y_1} \
\dfrac{d\vec{y_1}}{dt}\Big|_0 = -\dot{\theta},\vec{x_1}
\end{cases}

Vitesse d’un point

\vec{V_B} = \vec{V_A} + \vec{AB} \wedge \vec{\Omega}_{1/0}

Accélération d’un point

\vec{\Gamma_B} = \vec{\Gamma_A} + \vec{AB} \wedge \dot{\vec{\Omega}}{1/0} + \vec{\Omega}{1/0} \wedge \big(\vec{\Omega}_{1/0} \wedge \vec{AB}\big)

Cas rotation autour d’un axe à distance R

\vec{\Gamma_B} = R\big(\ddot{\theta},\vec{y_1} - \dot{\theta}^{2},\vec{x_1}\big)

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II. STATIQUE

Torseur d’action mécanique au point A

\mathcal{T} =
\begin{Bmatrix}
\vec{F} \
\vec{M_A}
\end{Bmatrix}_A

Changement de point

\vec{M_B} = \vec{M_A} + \vec{BA} \wedge \vec{F}

Torseurs usuels

Poids appliqué en G

\mathcal{T}_P =
\begin{Bmatrix}

• m g,\vec{y_0} \
  \vec{0}G
  \end{Bmatrix}
  
  Liaison pivot au point O
  
  \mathcal{T}{\text{pivot}} =
  \begin{Bmatrix}
  F_x,\vec{x_1} + F_y,\vec{y_1} \
  \vec{0}_O
  \end{Bmatrix}
  

Somme des actions extérieures au point O

\sum \mathcal{T}{\text{ext}} =
\begin{Bmatrix}
\sum \vec{F_i} \
\sum \vec{M{O,i}}
\end{Bmatrix}_O

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III. CINÉTIQUE

Masse et volume

m = \rho V

Moment d’inertie

Définition

I = \int r^2,dm

Usuels

I_{\text{disque}} = \tfrac{1}{2} m R^2 I_{\text{barre, axe extrémité}} = \tfrac{1}{3} m L^2

Moment cinétique

\vec{H_G} = I,\vec{\Omega}_{1/0} = I,\dot{\theta},\vec{z}

Torseur cinétique

Au point G

\mathcal{T}_{ci(1/0)} =
\begin{Bmatrix}
m,\vec{V_G} \
\vec{H_G}
\end{Bmatrix}_G

Transport au point O

\vec{H_O} = \vec{H_G} + \vec{OG} \wedge \big(m,\vec{V_G}\big)

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IV. DYNAMIQUE

Principe fondamental de la dynamique

Forme torseur

\sum \mathcal{T}{\text{ext}} = \mathcal{T}{dy(1/0)}

Torseur dynamique au point G

\mathcal{T}_{dy(1/0)} =
\begin{Bmatrix}
m,\vec{\Gamma_G} \
I,\ddot{\theta},\vec{z}
\end{Bmatrix}_G

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V. ÉQUILIBRE DYNAMIQUE

Mise en équations par projections

Point de départ

\sum \mathcal{T}{\text{ext}} = \mathcal{T}{dy}

Projections typiques pour une rotation de rayon R

\begin{cases}
\sum F_{x_1} = - m R,\dot{\theta}^{2} \
\sum F_{y_1} = m R,\ddot{\theta} \
\sum M_{z} = I,\ddot{\theta}
\end{cases}

Petits mouvements

Approximations pour petits angles

\sin(\theta) \approx \theta \
\cos(\theta) \approx 1

Équation linéarisée

\ddot{\theta} + \omega_0^{2},\theta = 0

Pulsation propre selon le système

\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{I}} \quad \text{ou} \quad \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{L}}

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VI. RÉCAP DES SYMBOLES

\theta angle en rad
\dot{\theta} vitesse angulaire en rad s$^{-1}$
\ddot{\theta} accélération angulaire en rad s$^{-2}$
\vec{\Omega}_{1/0} vecteur rotation en rad s$^{-1}$
\vec{V} vitesse en m s$^{-1}$
\vec{\Gamma} accélération en m s$^{-2}$
m masse en kg
I moment d’inertie en kg m$^{2}$
\vec{F} force en N
\vec{M} moment en N m
\wedge produit vectoriel