1.3 KiB
Exercise 1.
Loi des mailles \rightarrow E=U_R+UC
E=R_i+U_C
E=RC\frac{dU_C}{dt}+U_C
La solution est une courbe de la forme U_C(t)=A_e^{-t/RC}+B
Conditions aux limites:
À t=0, U_C(t)=0 par lecture du circuit.
U_C(t)=A_e^{-0/RC}+B=A+B
\implies 0=A+B\implies A=-B
À t\rightarrow ∞, U_C(t)=E_0 par lecture du circuit.
U_C(∞)=B par la forme de la solution.
Finalement, U_C(t)=-E_0e^{-t/RC}+E_0=E_0(1-e^{-t/RC})
V=E-U_C(t)
V(t)=E_0e^{-t/RC}
Exercise 2.
!
\tau=RC=10E^3\times100E^{-6}=1s
!
Exercise 3: Second order DC circuits
!
\implies I=CL\frac{d^2i_1}{dt^2}+i_1
Puisque 0=LC\frac{d^2U}{dt^2}+U+°\times\frac{dU}{dt}
\implies Solution: U(t)=A\cos{(\omega_0t)}+B\sin{(\omega_0t)}
À t=0, U(t)=0 donc A=0.
Donc U(t)=B\sin{(\omega_0t)}
d'où: \frac{du}{dt}=B\omega_0\cos{(\omega_0t)}
Or, \frac{dU}{dt}=\frac{i_C}{C} et i=i_C+i_L
Donc \frac{dU}{dt}=\frac{i-i_L}{C}
À t=0:
\frac{dU}{dt}=B\omega_0=\frac{I}{C}
Parceque I_L est continu:
I_L(0^+)=I_L(0^-)=0
\implies B=\frac{I}{i\omega_0}=\frac{I}{\frac{C}{\sqrt{LC}}}=\frac{I\sqrt{LC}}{C}
Finalement, U(t)=\frac{I\sqrt{LC}}{C}\sin{(\frac{1}{\sqrt{LC}}t)}