estia-1a/CalculDifferentiel/Laplace.md

Intégration par parties (IPP)

Soit ( f, g \in \mathcal{C}^n([a,b]) ).

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(IP1)

(\mathcal{L}(f))^{(n)}(t) = (-t)^n , \mathcal{L}(x^n f(x))(t)

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(IP2)

Si f est de classe \mathcal{C}^n avec f^{(n)} \in \mathcal{L}^1(\mathbb{R}^+), alors :

\mathcal{L}(f^{(n)})(p) = p^n \mathcal{L}(f)(p)

• p^{n-1} f(0)
• p^{n-2} f'(0)
• \dots
• f^{(n-1)}(0)

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(IP3)

Si f est la primitive de g qui s'annule en 0, alors :

\mathcal{L}(f)(p) = \frac{\mathcal{L}(g)(p)}{p}