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_(Cinématique → Statique → Cinétique → Dynamique → Équilibre Dynamique)_
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## I. CINÉMATIQUE
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### Repères et variables
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Deux repères :
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- $R_0(O,\vec{x_0},\vec{y_0},\vec{z_0})$ fixe et galiléen
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- $R_1(O,\vec{x_1},\vec{y_1},\vec{z_1})$ lié au solide
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Angle $\theta$ en radians. Vitesse angulaire $\dot{\theta} = \dfrac{d\theta}{dt}$ en rad s$^{-1}$. Accélération angulaire $\ddot{\theta} = \dfrac{d^2\theta}{dt^2}$ en rad s$^{-2}$.
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### Changement de base dans le plan $x_0y_0$
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$$
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\begin{cases}
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\vec{x_1} = \cos(\theta)\,\vec{x_0} + \sin(\theta)\,\vec{y_0} \\
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\vec{y_1} = -\sin(\theta)\,\vec{x_0} + \cos(\theta)\,\vec{y_0}
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\end{cases}
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$$
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### Dérivation dans une base mobile (formule de Poisson)
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Vecteur rotation
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$$
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\vec{\Omega}_{1/0} = \dot{\theta}\,\vec{z}
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$$
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Formule
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$$
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\left(\dfrac{d\vec{u}}{dt}\right)_{R_0} = \left(\dfrac{d\vec{u}}{dt}\right)_{R_1} + \vec{\Omega}_{1/0} \wedge \vec{u}
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$$
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Applications aux axes
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$$
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\begin{cases}
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\dfrac{d\vec{x_1}}{dt}\Big|_0 = \dot{\theta}\,\vec{y_1} \\
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\dfrac{d\vec{y_1}}{dt}\Big|_0 = -\dot{\theta}\,\vec{x_1}
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\end{cases}
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$$
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### Vitesse d’un point
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$$
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\vec{V_B} = \vec{V_A} + \vec{AB} \wedge \vec{\Omega}_{1/0}
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$$
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### Accélération d’un point
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$$
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\vec{\Gamma_B} = \vec{\Gamma_A} + \vec{AB} \wedge \dot{\vec{\Omega}}_{1/0} + \vec{\Omega}_{1/0} \wedge \big(\vec{\Omega}_{1/0} \wedge \vec{AB}\big)
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$$
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Cas rotation autour d’un axe à distance $R$
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$$
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\vec{\Gamma_B} = R\big(\ddot{\theta}\,\vec{y_1} - \dot{\theta}^{2}\,\vec{x_1}\big)
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$$
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## II. STATIQUE
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### Torseur d’action mécanique au point $A$
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$$
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\mathcal{T} =
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\begin{Bmatrix}
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\vec{F} \\
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\vec{M_A}
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\end{Bmatrix}_A
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$$
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### Changement de point
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$$
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\vec{M_B} = \vec{M_A} + \vec{BA} \wedge \vec{F}
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$$
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### Torseurs usuels
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Poids appliqué en $G$
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$$
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\mathcal{T}_P =
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\begin{Bmatrix}
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- m g\,\vec{y_0} \\
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\vec{0}_G
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\end{Bmatrix}
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$$
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Liaison pivot au point $O$
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$$
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\mathcal{T}_{\text{pivot}} =
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\begin{Bmatrix}
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F_x\,\vec{x_1} + F_y\,\vec{y_1} \\
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\vec{0}_O
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\end{Bmatrix}
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$$
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### Somme des actions extérieures au point $O$
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$$
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\sum \mathcal{T}_{\text{ext}} =
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\begin{Bmatrix}
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\sum \vec{F_i} \\
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\sum \vec{M_{O,i}}
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\end{Bmatrix}_O
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$$
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## III. CINÉTIQUE
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### Masse et volume
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$$
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m = \rho V
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$$
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### Moment d’inertie
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Définition
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I = \int r^2\,dm
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Usuels
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I_{\text{disque}} = \tfrac{1}{2} m R^2
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I_{\text{barre, axe extrémité}} = \tfrac{1}{3} m L^2
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$$
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### Moment cinétique
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$$
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\vec{H_G} = I\,\vec{\Omega}_{1/0} = I\,\dot{\theta}\,\vec{z}
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$$
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### Torseur cinétique
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Au point $G$
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$$
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\mathcal{T}_{ci(1/0)} =
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\begin{Bmatrix}
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m\,\vec{V_G} \\
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\vec{H_G}
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\end{Bmatrix}_G
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$$
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Transport au point $O$
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$$
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\vec{H_O} = \vec{H_G} + \vec{OG} \wedge \big(m\,\vec{V_G}\big)
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$$
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## IV. DYNAMIQUE
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### Principe fondamental de la dynamique
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Forme torseur
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\sum \mathcal{T}_{\text{ext}} = \mathcal{T}_{dy(1/0)}
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$$
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### Torseur dynamique au point $G$
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$$
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\mathcal{T}_{dy(1/0)} =
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\begin{Bmatrix}
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m\,\vec{\Gamma_G} \\
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I\,\ddot{\theta}\,\vec{z}
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\end{Bmatrix}_G
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$$
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## V. ÉQUILIBRE DYNAMIQUE
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### Mise en équations par projections
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Point de départ
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\sum \mathcal{T}_{\text{ext}} = \mathcal{T}_{dy}
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$$
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Projections typiques pour une rotation de rayon $R$
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$$
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\begin{cases}
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\sum F_{x_1} = - m R\,\dot{\theta}^{2} \\
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\sum F_{y_1} = m R\,\ddot{\theta} \\
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\sum M_{z} = I\,\ddot{\theta}
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\end{cases}
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$$
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### Petits mouvements
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Approximations pour petits angles
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\sin(\theta) \approx \theta \\
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\cos(\theta) \approx 1
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Équation linéarisée
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\ddot{\theta} + \omega_0^{2}\,\theta = 0
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$$
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Pulsation propre selon le système
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$$
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\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{I}} \quad \text{ou} \quad \omega_0 = \sqrt{\dfrac{g}{L}}
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$$
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## VI. RÉCAP DES SYMBOLES
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$\theta$ angle en rad
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$\dot{\theta}$ vitesse angulaire en rad s$^{-1}$
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$\ddot{\theta}$ accélération angulaire en rad s$^{-2}$
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$\vec{\Omega}_{1/0}$ vecteur rotation en rad s$^{-1}$
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$\vec{V}$ vitesse en m s$^{-1}$
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$\vec{\Gamma}$ accélération en m s$^{-2}$
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$m$ masse en kg
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$I$ moment d’inertie en kg m$^{2}$
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$\vec{F}$ force en N
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$\vec{M}$ moment en N m
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$\wedge$ produit vectoriel |