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Un solide est un ensemble de points qui veut être en translation, en rotation...
Notions:
- Produits vectoriels/scalaires
- Matrice d'inertie
Matrice d'inertie: Permet de définir l'énergie demandée pour appliquer une rotation à un solide (ou sa resistance à la rotation). Inertie est au moment ce que la force est à la translation.
import micropip
await micropip.install('matplotlib')
await micropip.install('numpy')
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
# Plot in 3D
fig = plt.figure()
fig.set_label('3D plot')
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
# Plot the vectors
ax.quiver(0, 0, 0, 5, 5, 5, color='r')
ax.quiver(5, 5, 5, 2, 2, -2, color='b')
ax.quiver(7, 7, 3, 2, 2, 6, color='g')
# Add vector names
ax.text(5, 5, 5, 'A', color='r')
ax.text(7, 7, 3, 'B', color='b')
ax.text(9, 9, 9, 'M', color='g')
# Set the aspect of the plot to be equal
ax.set_box_aspect([10,10,10])
size = 10
ax.set_xlim([0, size])
ax.set_ylim([0, size])
ax.set_zlim([0, size])
plt.show()
!Drawing 2025-09-25 11.16.23.excalidraw
À gauche, \theta_1 est positif, et à droite \theta_1 est négatif.
Soit \alpha_1 l'angle entre l'axe \overrightarrow{x} et \overrightarrow{OA}
\alpha_1=\theta_1+\frac{\pi}{2}
\overrightarrow{OA}=l_1(\cos{\alpha_1}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha_1}\overrightarrow{y})
\overrightarrow{OA}=l_1(\cos{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}\overrightarrow{x}+\sin{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}\overrightarrow{y})
Or, par cercle trigonométrique, \cos{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}=-\sin{\theta_1} et \sin{(\theta_1+\frac{\pi}{2})}=\cos{\theta_1}
Donc \overrightarrow{OA} = l_1(-\sin{\theta_1}\overrightarrow{x}+\cos{\theta_1}\overrightarrow{y})
\sin{\alpha}=\frac{AB}{OB}\implies OB=\frac{AB}{\sin{\alpha}}
\alpha_2=\alpha_1+\pi+\theta_2
\alpha_2=\theta_1+\frac{\pi}{2}+\pi+\theta_2
\alpha_2=\theta_1+\theta_2+\frac{3\pi}{2}
\overrightarrow{AB}=l_2(\cos{\alpha2}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha2}\overrightarrow{y})
Avec \alpha_2=\theta_1+\theta_2+\frac{3\pi}{2}
Soit \alpha_{1+2}=\theta_1+\theta_2
\cos{(\alpha_{1+2}+\frac{3\pi}{2})}=\sin{\alpha_{1+2}}
\sin{(\alpha_{1+2}+\frac{3\pi}{2})}=-\cos{\alpha_{1+2}}
Donc \overrightarrow{AB}=l_2(\sin{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{x}-\cos{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{y})
Exo2
!Drawing 2025-09-25 12.21.28.excalidraw
\overrightarrow{OA}=r(\cos{\theta_1}\overrightarrow{x}+\sin{\theta_1}\overrightarrow{y})
\alpha_2=\theta_1+\pi+\theta_2
\overrightarrow{AB}=b(\cos{\alpha_2}\overrightarrow{x}+\sin{\alpha_2}\overrightarrow{y}) = b(-\cos{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{x}-\sin{(\theta_1+\theta_2)}\overrightarrow{y})
Cinématique
\overrightarrow{V}_{M\in S_s/R_0}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0M}(t)|_{B_0}
!TD-Ven. 26 septembre 2025
Par relation de Chales,
\overrightarrow{O_0A}=\overrightarrow{O_0I}+\overrightarrow{IO_1}+\overrightarrow{O_1A}
= X(t)\overrightarrow{x_0} + R\overrightarrow{y_0}+R\overrightarrow{x_1}
\overrightarrow{V}_{A\in{1/0}}=\frac{d}{dt}\overrightarrow{O_0A}|_0
--> le 0 dans 1/0 correspond à (O_0,B_0) avec O_0 l'origine et B_0 la base.
\frac{d\overrightarrow{IO_1}}{dt}|_0=\frac{d}{dt}R\overrightarrow{y_0}|_0=\frac{d}{dt}R|_0\overrightarrow{y_0}+R\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}|_0
!TD-Ven. 26 septembre 2025 - 2
\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt}|_0=?
\overrightarrow{x_1}=||\overrightarrow{x_1}||(\cos{\theta}\overrightarrow{x_0}+\sin{\theta}\overrightarrow{y_0})
\frac{d\overrightarrow{x_1}}{dt}|_0=(\frac{d}{dt}\cos{\theta(t)})\overrightarrow{x_0}+\cos{theta}\frac{d\overrightarrow{x_0}}{dt}|_0+\frac{d}{dt}(\sin{\theta(t)})\overrightarrow{y_0}+\sin{\theta}\frac{d\overrightarrow{y_0}}{dt}
= -\dot{\theta}\sin{\theta}\overrightarrow{x_0}+\dot{\theta}\cos{\theta}\overrightarrow{y_0}
\Omega_{1/0}=\dot{\theta} \overrightarrow{z}
xyzxyz
Pour calculer le produit vectoriel de x et y, on prend le suivant (z)
Vers la droite, c'est positif (x • y = z) et vers la gauche c'est négatif (y • x = -z)