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Exercice 2:
On pose A=\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&0}.
1.
\det{(xI-A)}=\det\begin{vmatrix}x&0&0\\-1&x-1&0\\-1&0&x\end{vmatrix}
\det{(xI-A)}=x^2(x-1)
On cherche le polynome minimal:
On pose P:x\rightarrow x(x-1)
\mathcal{X}_A(A)=0=A^2(A-I)=A^3-A^2=0
Donc A^3=A^2.
2.
P(A)=A(A-I)=\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&0}\pmatrix{-1&0&0\\1&0&0\\1&0&-1}=\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\-1&0&0}≠0
Donc P n'est pas le polynome minimal de A.
Le polynome minimal est à racine multiple, donc A n'est pas diagonalisable.
3.
Spectre de A:
S_p(A)=\{0;1\}.
\lambda_0=0;\lambda_1=1;
\dim(E_0)=1
\dim(E_1)=1
4.
A=D+N
Avec D "Diagonalisable" et N "Nilpotente". DN=ND.
a)
D=q(A) avec q\in\mathbb{R}(x) tel que \cases{q\equiv\lambda_i[(x-\lambda_i)^{\mu_i}]\\\mu_i=\text{ Multiplicité de }\lambda_i=2}
\cases{q\equiv0[x^2] \\ q\equiv1[x-1]}
Les deux modulis sont premiers entre eux car ils n'ont pas de racines communes.
\exists (u,v)\in\mathbb{R}(x) tel que \cases{q=0+ux^2\\q=1+v(x-1)}
Euclide:
\div{x^2}{x-1}{x+1}{-(x^2-x)\\+x\\-(x-1)\\1}
b)
D_0=A
D_{n+1}=D_n-P(D_n)\times(P'(D_n))^{-1}
D=D_n dès que 2^n≥\max{(\mu_i)}
Avec P\in\R(x), P=\frac{\mathcal{X}_A}{PGDC(\mathcal{X}_A,\mathcal{X}_A')}
\mathcal{X}_A=x^2(x-1)=x^3-x^2
\mathcal{X}_A'=3x^2-2x=x(3x-2)
PGDC(\mathcal{X}_A,\mathcal{X}_A')=x
D=D_1=D_0-P(D_0)\times(P'(D_0))^{-1}=A-P(A)\times(P'(A))^{-1} Avec P'=2x-1
P'(A)=2A-I=\pmatrix{-1&0&0\\2&1&0\\2&0&-1}
(P'(A))^{-1}=\pmatrix{-1&0&0\\2&1&0\\2&0&-1}^{-1}=\pmatrix{\frac{1}{-1}&0&0\\?&\frac{1}{1}&0\\?&?&\frac{1}{-1}}
D=\pmatrix{0&0&0\\1&1&0\\1&0&0}-\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\-1&0&0}\pmatrix{\frac{1}{-1}&0&0\\?&\frac{1}{1}&0\\?&?&\frac{1}{-1}}=\pmatrix{0&0&0\\0&0&0\\1&0&0}
5.
D^n=D: Initialisation avec n=1 car \N^*
D^1=D
Hérédité: Soit n\in\N^* on suppose D^n=D
Montrons que D^{n+1}=D
D^{n+1}=D^n\times D=D^2
D^{n+1}=A^4
D^{n+1}=A\times A^3
D^{n+1}=A\times A^2
D^{n+1}=A^3
D^{n+1}=A^2
D^{n+1}=D
Conclusion: \forall n\in\N^*;D^n=D
A^n=(D+N)^n=\sum_{k=0}^n\pmatrix{n\k}D^{n-k}N^k
A^n=\cases{
n=0\implies I \
n=1\implies A \
n≥2\implies D^n=A^2
}
e^{tD}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(tD)^k}{k!}=(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{t^k}{k!})\times D+I=(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!} -1)\times D + I=(e^t-1)D+Ie^{tA}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}A^k=(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{t^k}{k!}-1-t)A^2+I+tA=D(e^t-1)+I+t(A-D)